Dubbio su un passaggio di un integrale

[LiukAnalisi]

Ciao ragazzi, ho un dubbio su un passaggio di un integrale e vorrei chiedervi se come ragionamento il mio ha senso oppure no.

L'integrale di partenza è $ int x*arctg (1/( \sqrt{x})) dx $

Il primo passaggio che mi è venuto in mente è stato quello di porre $ t = 1/sqrtx $

E di conseguenza $ dt = -(1/(2x^(3/2)))dx $

Ora ho un dubbio nel passaggio successivo.
Ho moltiplicato sia numeratore che denominatore per $ x^(3/2) $
Arrivando ad avere $ int (x*arctg (1/(sqrtx))dx *x^(3/2)) /x^(3/2) $


A questo punto ho moltiplicato nuovamente sia numeratore che denominatore per 2 e ho sostituito tutto. Ottenendo

$ 2 int(arctg(t))/(t^5)dt $

È giusto o ho fatto qualche passaggio che non si può fare?
Vi ringrazio!

[pilloeffe]

Ciao LiukAnalisi,

Benvenuto sul forum!

Arrivando ad avere $int (x*arctg (1/(sqrtx))dx *x^(3/2)) /x^(3/2) $

Non ho capito un gran che il senso di questo, ma il risultato finale è corretto, fatta eccezione per un segno $- $:

$ \int x arctan(1/(\sqrt{x})) \text{d}x = - 2 \int arctan(t)/t^5 \text{d}t $

A questo punto procederei con l'integrazione per parti.

[LiukAnalisi]

Ciao LiukAnalisi,

Benvenuto sul forum!

Arrivando ad avere $int (x*arctg (1/(sqrtx))dx *x^(3/2)) /x^(3/2) $

Non ho capito un gran che il senso di questo, ma il risultato finale è corretto, fatta eccezione per un segno $- $:

$ \int x arctan(1/(\sqrt{x})) \text{d}x = - 2 \int arctan(t)/t^5 \text{d}t $

A questo punto procederei con l'integrazione per parti.

Ciao, grazie per il benvenuto e la risposta!
In quel passaggio ho moltiplicato sia numeratore che denominatore per $ X^(3/2) $ in modo da poter sostituire successivamente dt. Ho sbagliato?

[Mephlip]

Ciao! Oltre al suggerimento di pilloeffe, potresti notare che $\arctanx=\text{arccot}(\frac{1}{x})$ (dove c'è biunivocità) e dunque riscrivere $x \arctan(\frac{1}{\sqrt{x}})=x \text{arccot}(\sqrt{x})$; dopo aver sostituito $\sqrt{x}=y$, puoi procedere sempre integrando per parti.
Vedi tu con quale ti trovi meglio

[pilloeffe]

Ciao, grazie per il benvenuto e la risposta!

Prego!

In quel passaggio ho moltiplicato sia numeratore che denominatore per $x^{3/2} $ in modo da poter sostituire successivamente $\text{d}t $. Ho sbagliato?

No attenzione, non ho detto che hai sbagliato (a parte quel segno $-$ di cui ho già scritto... ) casomai è un po' anomalo, perché tipicamente quando si fa una posizione poi si esprime tutto in base alla nuova variabile:

$t = 1/sqrt{x} \implies sqrt{x} = 1/t \implies x = 1/t^2 \implies x^{3/2} = 1/t^3 $

Quindi da $ \text{d}t = -(1/(2x^(3/2)))\text{d}x \implies \text{d}x = - 2x^(3/2) \text{d}t = -2/t^3 \text{d}t $ e si ottiene proprio quanto ho scritto nel mio post precedente:

$\int x arctan(1/(\sqrt{x})) \text{d}x = - 2 \int arctan(t)/t^5 \text{d}t $