Limite di successioni

[Alino]

Ti ringrazio per la risposta, sono d'accordo con quello che hai scritto anche perché avevo svolto i calcoli nello stesso modo, senza esplicitare tutto. Concordo anche con l'utilizzo del limite notevole. Resto comunque dubbioso ancora sul fatto di trascurare il $+1$ e il $-1$, dato che mi hai dato come motivazione che "è evidente". Ripropongo la mia domanda, ovvero perché questa cosa non funziona nel limite $\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n$.

[pilloeffe]

Resto comunque dubbioso ancora sul fatto di trascurare il $+1$ e il $−1$, dato che mi hai dato come motivazione che "è evidente". Ripropongo la mia domanda, ovvero perché questa cosa non funziona nel limite $\lim_{n \to +\infty}((n+1)/(n−1))^n $.

Perché gli infinitesimi non sono irrilevanti per pervenire al risultato corretto di un limite, non si possono trascurare incautamente. Provo a spiegarmi meglio, partendo prima dal limite in questione, poi da quello che proponi tu, per poi concludere con uno ben noto...

$ \lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((1-1/n-1/n^2)/(1+1/n^2))^n $

In questo caso trascurare il $-1$ a numeratore ed il $+1$ a denominatore equivale a trascurare un $o(1/n^2) $ rispetto ad un $o(1/n) $, ma comunque resta $o(1/n) $ a numeratore, rilevante per pervenire al risultato corretto del limite.

Vediamo ora perché quello cha abbiamo detto per il limite precedente "non funziona" come giustamente asserisci per il limite che proponi:

$\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n = \lim_{n \to \infty} ((1+1/n)/(1-1/n))^n $

Se seguendo il tuo ragionamento incautamente trascuriamo gli $1$, dal limite proposto scompaiono del tutto gli $o(1/n)$ ed il risultato che ne consegue è $1$ che è errato. Perché? Prova a pensare al cosiddetto limite di Nepero:

$ e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n = \lim_{n \to \infty} ((n + 1)/n)^n = \lim_{n \to \infty} ((1 + 1/n)/1)^n$

Cosa succede se seguendo il tuo ragionamento incautamente trascuriamo $1$ rispetto a $n$ al numeratore, visto che $n \to +infty$, ovvero $1/n $ nel passaggio successivo? Che scompare $o(1/n) $ ed il risultato del limite di Nepero sarebbe $ e = 1 $ che sappiamo essere falso.
Invece per il limite che hai proposto si ha:

$\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n = e^2 $

Trascurando gli $o$ a numeratore e a denominatore invece otterresti come risultato $1$, mentre trascurando l'$o$ al numeratore oppure quello a denominatore otterresti come risultato in entrambi i casi $e$...