Dominio in coordinate polari cilindriche

[Salvy]

Salve a tutti, provando a risolvere un integrale triplo , ho incontrato questo dominio :
$A={(x,y,z)in R^3 : 1-2sqrt(x^2+y^2)<=z<=1-sqrt(x^2+y^2); z>=0 }$
Passando alle coordinate cilindriche ottengo :
$1-2rho<=z<=1-p$ ma poiché $z>=0$ allora $1-rho>=0; -1<=rho<=1 $
A questo punto, il nuovo dominio espresso in coordinate cilindriche dovrebbe essere questo : $1-2rho<=z<=1-rho$ ; $-1<=rho<=1 $ ; $0<=alpha<=2pi $
Secondo voi è giusto?

[Quinzio]

Secondo voi è giusto?

C'e' qualcosa di giusto, c'e' qualcosa di sbagliato e c'e' qualcosa che manca.

1.
Se non provi a fare delle sezioni del solido, per avere un'idea di come e' fatto, secondo me difficilmente riuscirai a concludere qualcosa.
Qui potresti disegnare delle sezioni a $z = [-1, 0, 1/2, 1, 2]$.

2.
$ -1<=rho<=1 $
Fai una prova a disegnare un cerchio con raggio $-1$ (meno 1)?
Le cose che scrivi devono avere senso, se no poi chi legge non si fa una bella idea. (Non io, ma all'esame).

[Salvy]

Secondo voi è giusto?

C'e' qualcosa di giusto, c'e' qualcosa di sbagliato e c'e' qualcosa che manca.

1.
Se non provi a fare delle sezioni del solido, per avere un'idea di come e' fatto, secondo me difficilmente riuscirai a concludere qualcosa.
Qui potresti disegnare delle sezioni a $z = [-1, 0, 1/2, 1, 2]$.

2.
$ -1<=rho<=1 $
Fai una prova a disegnare un cerchio con raggio $-1$ (meno 1)?
Le cose che scrivi devono avere senso, se no poi chi legge non si fa una bella idea. (Non io, ma all'esame).

Chiedo venia, ho sbagliato a scrivere, ovvio che $rho>0$, il resto è giusto?
P.s. Che senso ha calcolare la sezione in z=-1, se $z>=0$?

[Salvy]

Qualcuno sa aiutarmi?

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Beh, se $z >= 0 $ allora direi che $0 <= \rho <= 1/2 $
Anche in questo caso potresti scrivere l'integrale triplo proposto ed il risultato (se ne disponi), così poi lo possiamo risolvere e la discussione può tornare utile anche ad altri utenti del forum...

[Salvy]

Ciao Salvy,

Beh, se $z >= 0 $ allora direi che $0 <= \rho <= 1/2 $
Anche in questo caso potresti scrivere l'integrale triplo proposto ed il risultato (se ne disponi), così poi lo possiamo risolvere e la discussione può tornare utile anche ad altri utenti del forum...

Non capisco dove sbaglio nell'impostare la condizione del $rho$ :
la disequazione afferma che $1-2rho<=z$ quindi $z>=1-2rho $, ma chi me lo dice che $1-2rho>0$ ?
Oppure visto che nelle condizioni iniziali c'è la presenza di $z>=0$ quindi posso dire subito che
$qualcosa di positivo <=z<=qualcosa di positivo $? e quindi i due estremi della disuguaglianza sono sicuramente maggiori di 0?
Scusate l'informalità ...

[pilloeffe]

Scusate l'informalità ...

Beh, informalità per informalità:

$ 1-2rho<=z<=1-\rho \implies 1-2rho <= 1-\rho \implies \rho >= 0 $

cosa che peraltro sapevi già. D'altronde $\rho = 1 $ non può andar bene perché sostituito nella limitazione per $z$ già citata porgerebbe $- 1 <= z <= 0 $, che è in contraddizione col fatto che deve essere $z >= 0 $: se $z >= 0 $ con quelle limitazioni deve verificarsi ciò che hai scritto:

$qualcosadipositivo <= z <= qualcosadipositivo$?

o meglio ancora
$ \text{qualcosadipositivoppurenullo} <= z <= \text{qualcosaltrodipositivo}$

[Salvy]

Sisi ma sul fatto che $rho>0$ non ho dubbi , io all'inizio pensavo che dalla condizione di partenza $1-2sqrt(x^2+y^2)<=z<=1-sqrt(x^2+y^2)$ non potevo subito dire che $1-2rho$ fosse positivo perché z potrebbe essere anche maggiore di una quantità negativa ...

P.s. ho modificato la condizione di partenza perché era sbagliata .

[Mephlip]

Lo puoi dire perché $\sqrt{x^2+y^2}\geq0$, quindi se nel tuo insieme di integrazione è presente $\sqrt{x^2+y^2}\leqz$ risulta $0\leq\sqrt{x^2+y^2}\leqz$ e dunque, per transitività della relazione d'ordine, è $z\geq0$.

[Salvy]

Lo puoi dire perché $\sqrt{x^2+y^2}\geq0$, quindi se nel tuo insieme di integrazione è presente $\sqrt{x^2+y^2}\leqz$ risulta $0\leq\sqrt{x^2+y^2}\leqz$ e dunque, per transitività della relazione d'ordine, è $z\geq0$.

La condizione non era quella , ho corretto l'errore .