Limite di successioni con seno

[Matteo3213d]

Buongiorno,
mi potete dire se il raggionamento fatto per risolvere il limite è corretto, oppure sono arrivato alla soluzione per puro caso?
$ lim_(n -> +oo) (sinroot(4)|sinn|)^(4n) = 0^+ $

-Visto che l'esponente è pari, non dobbiamo considerare la sotto-successione con indice dispari.
- $0<= |sinn| < 1$, quindi anche $0<=root(4)|sinn|< 1$.
- Siccome $sinx = 1$ soltanto se $x > 1$, allora $ 0 <= sinroot(4)|sinn| < 1$
-Infine, il limite di un numero compreso tra 0 e 1 "elevato all'infinito" tende a 0.
Grazie.

[dissonance]

Intanto,

\(\sin x=1\) soltanto se \(x>1\)

è un errore. Inoltre,

Il limite di un numero compreso tra 0 e 1 ... tende a \(0\)

Vuoi dire che
\[
\lim_{n \to \infty} c^n =0\]
se \(c\in [0, 1)\). E questo è vero. Ma nel tuo caso non hai un numero fisso \(c\), hai una successione
\[
\sin (|\sin n|)^\frac14, \]
e quindi non puoi applicare direttamente quella proprietà. Potresti farlo se esistesse \(C>0\) tale che
\[
0\le \sin (|\sin n|)^\frac14 \le C<1, \]
perché in quel caso potresti concludere per "i due carabinieri". Ma qui non è vero né che \(0\le \sin (|\sin n|)^\frac14\), né che esiste \(C>0\) tale che \(\sin (|\sin n|)^\frac14 \le C<1\).

Il primo fatto non è un problema vero, perché si può rifare tutto il ragionamento con \([\sin (|\sin n|)^\frac14]^4\), che è positiva. Il vero problema è la costante \(C<1\). Devi dimostrare che esiste. Immagino fosse quello che volevi dire nel punto precedente, ma lo devi dire bene.

[Reyzet]

Potresti usare la non decrescenza di $t\rightarrow sin(t)$ in $]-π/2,π/2[$.

[dissonance]

Potresti usare la non decrescenza di $t\rightarrow sin(t)$ in $]-π/2,π/2[$.

Secondo me lo svolgimento dell'OP in fondo va anche bene. L'idea c'è, ma è la formalizzazione che è sbagliata.