[Elettrotecnica] Circuito con doppia manovra dell'interruttore

[Fabbiooo]

Buongiorno, sono alle prese con questo esercizio e ho dei dubbi in merito alla mia risoluzione:



I dati sono $E=170V; R=110ohm; L=0,50H; C=2*10^(-5)F; T=0,00100s; T_1=0,00110s$
(l'interruttore è normalmente chiuso; in t=0 avviene la manovra di apertura; in t=T avviene la manovra di richiusura).
La richiesta è: calcolare il valore della tensione ai capi del condensatore per $t=T_1$.

Per procedere ho provato a resettare i tempi: $t'=t-T$ """"per fare in modo che la manovra di richiusura dell'interruttore avvenga al tempo t'=0""""".
Sotto questa ipotesi, so che nel momento in cui manovra l'interruttore si verifica un transitorio del 1° ordine, la cui equazione risolutiva è $v_C(t')=ke^(\lambdat')+v_C(\infty)$. Servono $v_C(\infty)$, k e $\lambda$.
Si trova:
_ $v_C(\infty)=E$;
_ poiché $v_C(0^-)=v_C(0^+)=0->0=ke^0+v_C(\infty)->k=-E$;
_ $\lambda=-454,55s^(-1)$.

Mettendo tutto insieme, trovo: $v_C(t)=-Ee^(\lambda(t-T))+E->v_C(T_1)=-Ee^(\lambda(T_1-T))+E=7,55V$.

C'è qualcosa che non mi convince però, soprattutto perché ho già calcolato $v_C(T)=135,44V$.
È possibile che in così poco tempo la tensione ai capi del condensatore diminuisca di così tanto?

[RenzoDF]

... È possibile che in così poco tempo la tensione ai capi del condensatore diminuisca di così tanto?

Come ti dicevo nel precedente problema, "poco" o "tanto", sono relativi ad un termine di confronto, che non è lo zero, ovviamente, ma bensì la costante di tempo; in questo caso le costanti di tempo sono due, e due sono pure i transitori: il primo a partire da t=0, il secondo a partire da t=T.

Puoi provare a tracciare un grafico qualitativo della vc(t) a partire da t=0?

Oppure il professore ti ha detto, anche in questo caso, che il primo transitorio poteva considerarsi esaurito?

BTW Sto ancora aspettando una tua risposta in quel thread.

[Fabbiooo]

in questo caso le costanti di tempo sono due

Le ho calcolate: $\tau_1=4,4*10^-3s$ (per 0<t<T) e $\tau_2=2,2*10^-3s$ (per t>T)

Puoi provare a tracciare un grafico qualitativo della vc(t) a partire da t=0?

Se le mie considerazioni sono corrette, il grafico dovrebbe essere questo:

(le proporzioni le ho mandate a farsi benedire per mettere in risalto i cambi di pendenza).

[RenzoDF]

Ok per le costanti di tempo, per il grafico invece, valori numerici a parte, direi ok per la prima parte di discesa esponenziale, ma per la seconda (per t>T) dovrebbe esserci una risalita esponenziale, che poi continua anche per t>T1, visto che per t=T1 non si modifica la topologia circuitale.

[Fabbiooo]

Mi sono reso conto di aver fatto una cavolata con il grafico di prima
Quello corretto dovrebbe essere questo:



Però a questo punto, vedendo dove la curva per t>T interseca la retta t=T1, mi verrebbe da pensare che o è sbagliato il 7,55V che ho trovato in precedenza resettando la scala dei tempi oppure è sbagliato (ancora) il grafico

[RenzoDF]

Scusa, ma non capisco cosa intendi dire, il nuovo grafico è corretto, ma la tensione sul condensatore, come ben sai, può essere scritta come segue, usando il tuo nuovo tempo t'

$v_C(t')=v_C(\infty)-[v_C(\infty)-v_C(t'=0)]\ e^{-(t')/\tau_2}$

nella quale, ovviamente

$v_C(t'=0)=v_C(t=T)$

[Fabbiooo]

il nuovo grafico è corretto

non capisco cosa intendi dire

Io ho provato a risolvere il circuito resettando i tempi, in modo che la manovra di chiusura avvenisse al tempo 0 anziché al tempo T, trovando così $v_C(T_1)=7,55V$

Facendo i conti con la formula che hai scritto, trovo 149V, che avvalora questa mia parte di commento:

è sbagliato il 7,55V che ho trovato in precedenza

dato che il 149 è compreso tra il 135 e il 170, come da grafico.

Perciò, a questo punto, mi potresti aiutare a capire in quale punto ho sbagliato col mio ragionamento nel resettare i tempi?

[RenzoDF]

Non hai sbagliato a resettare il tempo, hai sbagliato a non considerare che la salita esponenziale della tensione non parte da zero, ma bensì da $v_C(T)$; vedi la relazione notevole che ti ho scritto nel precedente messaggio

... ora finisco il calcolo e lo posto ...

.... eccoli

[Fabbiooo]

Sarà che ci sto sbattendo la testa da tutto il giorno su questo esercizio e sono arrivato a saturazione, ma non capisco quale sia la mia mancanza
Allora, partiamo dall'inizio:
Resetto il tempo imponendo $t'=t-T$, perciò: $v_C(t')=ke^(-(t')/\tau_2)+v_C(\infty)$.
Dopo vari ragionamenti si trovano $v_C(\infty)=E=170V$ e $v_C(0^-)=v_C(0^+)=0V$
Sostituendo questi ultimi due valori nell'equazione risolutiva sopra, si trova $k=-E$.
Perciò: $v_C(t')=-Ee^(-(t')/(\tau_2))+E$, da cui: $v_C(t-T)=-Ee^(-(t-T)/(\tau_2))+E$.
A questo punto cosa devo fare? So di perdermi in un bicchier d'acqua, ma sto letteralmente impazzendo

[RenzoDF]

... non capisco quale sia la mia mancanza ...

Te l'ho già detto, ma lo ripeto: il tuo errore è NON considerare che la tensione nella salita esponenziale per t > T, ovvero per t' > 0, NON parte da una condizione iniziale di tensione nulla ma da una tensione pari al valore di 135,4 volt, presente ai morsetti del condensatore al tempo t=T della richiusura dell'interruttore, ovvero sbagli a dire che

... $v_C(0^-)=v_C(0^+)=0V$