Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda kaspar » 09/12/2019, 12:45

Ho un dubbio più che concettuale è di linguaggio. Mi è capitato per puro caso un esercizio del tipo
Trova la matrice di cambiamento dalla base \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B'\).

A ma vien da dire che una siffatta matrice \(A\) è tale che \[c_{\mathcal B'}(v) = Ac_\mathcal B(v)\] dove \(c_\mathcal B(v)\) è il vettore delle coordinate rispetto alla base \(\mathcal B\) di \(v\) e \(c_{\mathcal B'}(v)\) è il vettore delle coordinate dello stesso vettore rispetto alla base \(\mathcal B'\). L'idea che mi sono fatto è: «prendo le coordinate in una base di partenza e le trasformo secondo quella d'arrivo». Invece nello svolgimento degli esercizi qui, sembra fare il contrario: \[c_{\mathcal B}(v) = Ac_{\mathcal B'}(v)\] Ma poi quando trova le coordinate nella base \(\mathcal B'\) partendo da un vettore scritto nella base \(\mathcal B\), fa come mi aspetterei io.
Sbaglio io? È normale che sia così?
kaspar
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda marco2132k » 09/12/2019, 17:08

Posta l'esercizio :D
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda kaspar » 09/12/2019, 19:41

Non credo che ci sia bisogno di postare l'esercizio in quanto non credo sia specifico all'esercizio, ma forse potrebbe aiutarmi a spiegarmi meglio.
Nello spazio vettoriale \(\mathbb R^3\) siano i seguenti vettori:
\[v_1 := (2,-1,1), \quad v_2 := (1,0,-1), \quad v_ 3:= (0,1,2)\]
[... parte che non serve ...]
(b) Scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base canonica \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B' := \{v_1,v_2,v_3\}\)
(c) Determinare le coordinate del vettore \(u := (1,1,1)\) rispetto a \(\mathcal B'\).
[... parte che non serve ...]

Io compilerei la matrice del cambiamento di base in questo modo: scrivo ciascun vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori della base (ordinata) \(\mathcal B'\): in tal modo per ciascun vettore della base standard troverò un'unica tripletta di scalari e questa sarà il vettore delle coordinate corrispondente rispetto alla base \(\mathcal B'\). O no? Così facendo, otterrei la matrice
\[\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\]
Invece nello svolgimento gli autori fanno il contrario: ciascun vettore di \(\mathcal B'\) è scritto come combinazione lineare dei vettori di \(\mathcal B\) con la matrice che di conseguenza è
\[\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix}\]
Poi per l'esercizio successivo usa la matrice che avrei ricavato io, moltiplicandola al vettore \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\).
In sostanza io tengo in mente quello che si fa con le applicazioni lineari e la matrice associata. Da \(\mathbb R^3\) in sé ho l'identità \(\text{id}\), alla quale associo la matrice \(A\) tale per cui commuta
\xymatrix{
\mathbb R^3 \ar[r]^{\text{id}} \ar[d]_{c_\mathcal B} & \mathbb R^3 \ar[d]^{c_{\mathcal B^\prime}} \\
\mathbb R^3 \ar[r]_{A-} & \mathbb R^3
}
E così compilo la matrice \(A\) di cambiamento come tale. Sbaglio? Dagli appunti dei miei compagni nel periodo in cui c'ero mi pare di aver inteso ciò1. L'essenza del discorso l'ho capita comunque (so che ruoli hanno le matrici nel discorso) ma il problema è terminologico.

Probabilmente è una scemenza, mi sto ingarbugliando solamente io. Ma nella corsa al recupero, mi servono delle chiarificazioni.

Note

  1. Ho chiesto ad alcuni di loro, ma mi sembravano abbastanza confusi...
kaspar
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda marco2132k » 09/12/2019, 20:30

Chiamo \( \{e_i\}_{i = 1,\dots,3} \) i vettori della base canonica. Io definisco la matrice di cambiamento di base come la matrice \( \alpha_{\{e_i\}\mathcal B^\prime}(1) \) associata all'applicazione identica \( V\to V \), dove \( \alpha_{\mathcal B\mathcal B^\prime}\colon\operatorname{Hom}_K(V,W)\to\operatorname{M}_{m\times n}(K) \) è l'isomorfismo che conosci dall'hom-set di due spazi vettoriali di dimensione \( n \) ed \( m \) rispettivamente, nello spazio delle matrici (a basi \( \mathcal B \) e \( \mathcal B^\prime \) fissate).

Allora le colonne della matrice di cambio di base conterranno i coefficienti de(lle immagini de)i vettori \( e_i \) nella base \( \mathcal B^\prime \). Penso che il motivo di chiamare questa cosa matrice di cambio di base da \( \{e_i\} \) a \( \mathcal B^\prime \) sia proprio il fatto che, nelle mie notazioni malsane dove \( \varphi_{\mathbb R^3}^{\{e_i\}} \) e \( \varphi_{\mathbb R^3}^{\mathcal B^\prime} \) sono gli isomorfismi \( \mathbb R^3\to\mathbb R^3 \) che mappano ogni vettore nella sua \( 3 \)-upla delle coordinate rispetto alla base in apice, vale
\[
\varphi^{\mathcal B^\prime}(1(x)) = \alpha_{\{e_i\}\mathcal B^\prime}(1)\varphi^{\{e_i\}}(x)
\]
Se tu mettessi nelle colonne della matrice le coordinate dei vettori \( v_k \) espressi nella base canonica - quello che fa l'autore del tuo testo -, manderesti le coordinate di un vettore espresso nella base segnata \( \mathcal B \) nelle coordinate del vettore espresso nella base canonica. Se accetti una scrittura del tipo
\[
(v_1,v_2,v_3) = (e_1,e_3,e_n)A
\] la matrice \( A \) manda ancora i vettori della base canonica nella base \( \mathcal B \). Ma... dai! è da criminali!

Queste due matrici sono l'una l'inversa dell'altra, comunque. Quindi guarda che definizioni usa l'eserciziario, perché di fatto anch'io a lezione l'ho definita in un modo, mentre il testo che sto guardando ora lo fa in un altro ("al rovescio", come da te, e presenta quel "prodotto formale" tra tuple di vettori).
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda kaspar » 09/12/2019, 20:44

Mannaggia! Mi rendo conto: ogni autore fa quello che gli pare con le notazioni in questi casi, i miei due professori usano il linguaggio che io uso di conseguenza. È un casino.
Ma che notazione pesante che usi, marco2132k. :lol: Che libro usi? Mi sembra una notazione follemente pesante.
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda ihategoto » 12/12/2019, 18:47

Ciao,
ho avuto anche io difficoltà nel trovare la quadra con la sostanziale differenza di notazione che c'è tra quella utilizzata dal mio professore, e quella utilizzata dal mio testo. Il mio libro di testo, che tra l'altro riporta il tuo stesso anello commutativo, definisce la matrice di cambiamento di base da $ B $ a $ B^' $ quella che ha le colonne definite in questo modo:
$ C^j=f_B(v^('j)) $
dove il $ v^('j) $ è il j-esimo vettore della base $ B^' $. Fondamentalmente questa matrice trasforma le coordinate di un vettore espresso rispetto a $ B^' $ in quelle espresse rispetto a $ B $. A questo punto la domanda sorge spontanea: perché allora viene chiamata matrice di cambiamento di base da $ B $ a $ B^' $? Il mio testo giustifica questa denominazione facendo vedere che vale la seguente relazione:
$ | v^('1) \ \ . \ \ . \ \ . \ \ v^('j) | = | v^1 \ \ . \ \ . \ \ . \ \ v^j | C $
in cui effettivamente la matrice trasforma i vettori della base $ B $ in vettori della base $ B^' $.
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda kaspar » 12/12/2019, 19:49

Sì è una cosa abbastanza strana. Shiftando tra libri (Lang e Sernesi e eserciziario) e dispense, un po' del tempo viene passato a ricordarsi le notazioni e le locuzioni usate. Mi adeguerò alle scelte dei prof visto che quelli scriveranno e correggeranno l'esame. Non è semplice.
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Re: Dubbio terminologia «matrice cambiamento di base»

Messaggioda Sergio » 12/12/2019, 21:59

kaspar ha scritto:Io compilerei la matrice del cambiamento di base in questo modo: scrivo ciascun vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori della base (ordinata) \(\mathcal B'\): in tal modo per ciascun vettore della base standard troverò un'unica tripletta di scalari e questa sarà il vettore delle coordinate corrispondente rispetto alla base \(\mathcal B'\). O no? Così facendo, otterrei la matrice
\[\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\]

Concordo con te, il testo del libro (pag. 67, giusto?) è a dir poco confuso.
Provo a fare chiarezza.

a) Trovi le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\); per farlo, puoi costruire il sistema che dice il libro: \(Ac_{\mathcal{B}'}(b_i)=c_{\mathcal{B}}(b_i)\), dove \(b_i\) sono gli elementi di \(\mathcal{B}\). NB: In questo caso, dal momento che \(\mathcal{B}\) è la base canonica, \(c_{\mathcal{B}}(b_i)=b_i\).
La moltiplicazione di una matrice per un vettore è una combinazione lineare delle colonne della matrice in cui i coefficienti sono le componenti del vettore. Se le colonne di $A$ sono gli elementi di \(\mathcal{B}'\), se cioè
\[A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix}\]allora risolvendo il sistema per ciascun \(b_i\) trovi le sue coordinate rispetto a \(\mathcal{B}'\).
Un sistema si può risolvere in molti modi, ma se vuoi usare $A$ devi impostare \(c_{\mathcal{B}'}(b_i)=A^{-1}c_{\mathcal{B}}(b_i)\), perché \(c_{\mathcal{B}}(b_i)\) è noto e l'incognita è \(c_{\mathcal{B}'}(b_i)\):
\[\begin{align*}c_{\mathcal{B}'}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}&=A^{-1}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/5\\3/5\\1/5\end{pmatrix}\\
c_{\mathcal{B}'}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}&=A^{-1}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2/5\\4/5\\3/5\end{pmatrix}\\
c_{\mathcal{B}'}\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}&=A^{-1}\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/5\\-2/5\\1/5\end{pmatrix}\end{align*}\]Problema: questa matrice $A$ non ha nulla a che vedere con la matrice di cambiamento di base. In realtà qualche relazione c'è (ci torno poi), ma il punto è che questa matrice compare solo se usi un sistema per trovare le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\) e solo se per risolverlo usi \(Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b\). Se usi altri metodi (in casi più semplici si fa "a occhio" senza bisogno di sistemi, né di matrici, ma potresti anche procedere per sostituzione o usare la regola di Cramer), non hai bisogno di una matrice $A$ (con la regola di Cramer useresti i determinanti di quattro matrici).
Se poi aggiungi che per il calcolo hai bisogno non di $A$, ma della sua inversa, la confusione rischia di aumentare. La morale è: dimentica questa $A$ e ricorda solo le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\).

b) Una volta trovate le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\), le metti in colonna e ottieni la matrice di cambiamento di base. Chiamiamola \(M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\):
\[M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}=\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\]
c) Provi a vedere se funziona. Prendi le coordinate rispetto a \(\mathcal{B}\) di un vettore -- $(1,1,1)$ va benissimo -- e ne calcoli le coordinate rispetto a \(\mathcal{B}'\):
\[\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\]poi provi a procedere in senso inverso, per ottenere le coordinate rispetto a \(\mathcal{B}\) partendo da quelle rispetto a \(\mathcal{B}'\). Come? Ovvio: usando l'inversa di \(M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\):
\[\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\]
Sorpresa! L'inversa della matrice di cambiamento di base è uguale alla matrice $A$ di prima.
È un caso? non proprio, visto che per trovare le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\) hai in pratica già usato la matrice di cambiamento di base.
I problemi che crea il testo sono due:
1) non è sempre necessario ricorrere a una matrice per trovare le coordinate dei vettori di \(\mathcal{B}\) rispetto a \(\mathcal{B}'\);
2) se anche lo fai, quella che usi per risolvere il sistema è l'INVERSA di $A$, che è la vera matrice del cambiamento di base.
Spero che così la confusione diminuisca almeno un pochino....

PS: Da quanto detto sopra segue una "scorciatoia" per il calcolo della matrice di cambiamento di base da/a la base canonica \(\mathcal{B}\) a/da un'altra base \(\mathcal{B}'\):
a) \(M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}=[b'_1~~b'_2~~\cdots~~b'_n]^{-1}\), cioè metti in colonna i vettori di \(\mathcal{B}'\) e calcoli l'inversa;
b) \(M_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}=[b'_1~~b'_2~~\cdots~~b'_n]\), metti in colonna i vettori di \(\mathcal{B}'\) e ti fermi, perché le loro coordinate rispetto a \(\mathcal{B}\) coincidono con le loro componenti.
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