Circuito in evoluzione dinamica

Messaggioda giuseppe.dilorenzo » 23/11/2019, 13:04

Salve, volevo proporvi il seguente circuito in evoluzione dinamica. Nei conti, mi vengono delle cose strane, soprattutto nella risoluzione dell’equazione differenziale che ricavo da Kirchhoff:

Immagine

Viene chiesto di calcolare $i_L$ e $v_C ∀ t$ e l’energia immagazzinata da induttore e condensatore all’istante $t=0$.

Per $t>0$ $i_L=0$ e $v_C=E$

Per $t<0$
Da Kirchhoff:
$\{(Ri_L+L(d(i_L))/dt+v_c=E),(i_L=C(d(v_C))/dt+i_R),(Ri_R=v_C):}$

Ricavando $i_R$ dalla terza e sostituendo nella seconda, ottengo un sistema di due equazioni in $i_R$ e $v_C$. Derivo la seconda, trovo $i_L$ e la sua derivata e inserisco nella prima. Alla fine ottengo:
$(d^2v_C)/(dt^2)+(R/L+1/(RC))(dv_C)/dt+2/(LC)v_C=E$
Alla fine risolvendo l’omogenea associata:
$λ^2+10^5λ+2*10^6=0$
trovo $λ_1=0$ e $λ_2=-10^5$.

È possibile?
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Re: Circuito in evoluzione dinamica

Messaggioda RenzoDF » 23/11/2019, 16:56

giuseppe.dilorenzo ha scritto:... Per $t>0$ $i_L=0$ e $v_C=E$

Direi di no, visto che mi sembra di capire (dallo schema) che l'interruttore, chiuso per t<0, venga aperto per t=0; in quell'istante avrai

$ i_L(0)=E/(2R) \ , \quad v_C(0)=E/2$

giuseppe.dilorenzo ha scritto: ... Per $t<0$ ...

Non ti interessa scrivere l'equazione differenziale per t<0; devi scriverla solo per t>0; per t<0 non possiamo che considerare il circuito a regime.

Ovviamente, se l'interruttore venisse chiuso invece che aperto per t=0, allora avresti scritto correttamente sia le condizioni iniziali che l'equazione differenziale, ma di sicuro quell'equazione caratteristica non può avere quelle soluzioni, non credi? :wink:
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Re: Circuito in evoluzione dinamica

Messaggioda giuseppe.dilorenzo » 09/12/2019, 13:40

Ho fatto un errore stupido.
Quindi per $t<0$:
$v_C=E/2$
$i_L=E/(2R)$
$i_L(0^-)=i_L(0^+)=6*10^-3 A$
$v_C(0^-)=v_C(0^+)= 6 V$
Chiamando $E_C$ ed $E_i$ l'energia immagazzinata rispettivamente da condensatore e induttore:
$E_C=1/2C[v_C(0)]^2=1.8*10^-3$
$E_i=1/2L[i_L(0)]^2=1.8*10^-7$.

Per $t>0$ l'interruttore è aperto. Sfruttando il fatto che la corrente che scorre nell'induttore è uguale a quella che scorre nel condensatore, allora possiamo dire:
$i_L=C(dv_C)/dt$

Allora, grazie a quanto scritto sopra e all'applicazione di Kirchhoff all'unica maglia, possiamo scrivere la seguente equazione differenziale (dividendo per $LC$):
$(d^2v_C)/dt^2+R/L(dv_C)/dt+(v_C)/(LC)=E/(LC)$
Vado a trovare le frequenze naturali risolvendo la seguente omogenea associata:
$λ^2+10^5λ+10^6=0$
I risultati, prendendo più cifre significative, sono:
$λ_1=-9.99*10^4$ ;
$λ_2=-10$ .
L'integrale particolare $v_P$ lo ottengo sostituendo all'induttore e al condensatore rispettivamente un cortocircuito e un circuito aperto:
$v_P=12 V$
Dunque $v_C=k_1e^(-9.99*10^4t)+k_2e^(-10t)+12$
$v_C(0^+)=k_1+k_2+12=v_C(0^-)=6$
Essendo $i_L=C(dv_C)/dt$, allora $i_L(0)=6*10^-3=C(dv_C(0))/dt$ e, quindi:
$(dv_C(0))/dt=60$
Mi calcolo la derivata dell'espressione della tensione trovata sopra in 0 ed eguaglio a 60:
$-9.99*10^4k_1-10k_2=60$

Dal sistema ottenuto, ottengo:
$k_1=0$ e $k_2=-6$
Dunque:
$v_C=-6e^(-10t)+12$ per $t>0$

Da $i_L=C(dv_C)/dt$ otteniamo:
$i_L=6*10^-3e^(-10t)$ per $t>0$.

È giusto?
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Re: Circuito in evoluzione dinamica

Messaggioda RenzoDF » 11/12/2019, 19:22

Approssimativamente (praticamente) sì; visto che la differenza fra le due costanti di tempo L/R e RC è di ben 4 ordini di grandezza, non serviva scomodare nessuna equazione differenziale, bastava considerate la costante di tempo "dominante", ovvero $\tau=RC=0.1 \ \text{s}$, sia per l'evoluzione della corrente $i_L$ che della tensione $v_C$.
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