Non credo che ci sia bisogno di postare l'esercizio in quanto non credo sia specifico all'esercizio, ma forse potrebbe aiutarmi a spiegarmi meglio.
Nello spazio vettoriale \(\mathbb R^3\) siano i seguenti vettori:
\[v_1 := (2,-1,1), \quad v_2 := (1,0,-1), \quad v_ 3:= (0,1,2)\]
[... parte che non serve ...]
(b) Scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base canonica \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B' := \{v_1,v_2,v_3\}\)
(c) Determinare le coordinate del vettore \(u := (1,1,1)\) rispetto a \(\mathcal B'\).
[... parte che non serve ...]
Io compilerei la matrice del cambiamento di base in questo modo: scrivo ciascun vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori della base (ordinata) \(\mathcal B'\): in tal modo per ciascun vettore della base standard troverò un'unica tripletta di scalari e questa sarà il vettore delle coordinate corrispondente rispetto alla base \(\mathcal B'\). O no? Così facendo, otterrei la matrice
\[\frac 1 5 \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}\]
Invece nello svolgimento gli autori fanno il contrario: ciascun vettore di \(\mathcal B'\) è scritto come combinazione lineare dei vettori di \(\mathcal B\) con la matrice che di conseguenza è
\[\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix}\]
Poi per l'esercizio successivo usa la matrice che avrei ricavato io, moltiplicandola al vettore \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\).
In sostanza io tengo in mente quello che si fa con le applicazioni lineari e la matrice associata. Da \(\mathbb R^3\) in sé ho l'identità \(\text{id}\), alla quale associo la matrice \(A\) tale per cui commuta
E così compilo la matrice \(A\) di cambiamento come tale. Sbaglio? Dagli appunti dei miei compagni nel periodo in cui c'ero mi pare di aver inteso ciò
1. L'essenza del discorso l'ho capita comunque (so che ruoli hanno le matrici nel discorso) ma il problema è terminologico.
Probabilmente è una scemenza, mi sto ingarbugliando solamente io. Ma nella corsa al recupero, mi servono delle chiarificazioni.