Ciao. C'è un passaggio che non riesco a comprendere. Date due basi \( \{e_i\}_{i = 1,\dots,n} \) e \( \{e_k^\prime\}_{k = 1,\dots,n} \) di un \( K \)-spazio \( L \), possiamo esprimere i vettori \( e_k^\prime \) come combinazione lineare \( e_k^\prime = \sum_i a_{ik}e_i \) dei vettori delle prima base; in modo che, detti rispettivamente \( x \) e \( x^\prime \) i vettori delle coordinate di un \( l\in L \) rispetto a \( \{e_i\} \) e a \( \{e_k^\prime\} \), risulti \( x = (a_{ik})x^\prime \).
Il mio testo dice: "The matrix \( A = (a_{ik}) \) is called the matrix of change of basis (from the unprimed to the primed basis), or from the primed to the primed coordinates. [...] We note that the formula \( x = Ax^\prime \) could also have been interpreted as a formula expressing the coordinates of the new vector \( f(x^\prime) \) in terms of the coordinates of the vector \( x \), where \( f \) is the linear mapping \( L\to L \), described by the matrix \( A \) in the basis \( \{e_k\} \). In physics, these two points of view are called "passive" and "active" respectively. In the first case, we describe the same state of the system (the vector \( l \)) from the point of view of different observers [...] In the second case, there is only one observer, while the state of the system is subjected to transformations consisting, for example, of symmetry transformations of the space of states of this system.".
Qualcuno riuscirebbe a farmi l'esegesi della parte in rosso? E a collegare tutto ciò con la parte in blu?
Sì, ovviamente mi è chiaro che la mappa \( K^n\to K^n \) come \( x\mapsto Ax \) passa le coordinate di un vettore \(
l \) rispetto ad un osservatore segnato in quelle di un osservatore non-segnato. E che - nel secondo caso - posso mandare ogni vettore \( e_i \) nel rispettivo \( e_i^\prime \) con una trasformazione lineare \( f\colon L\to L \) che avrà matrice associata uguale ad \( A \) nella base non-segnata \( e_i \). Ma il senso di fare quest'ultima operazione? (Sì, ogni vettore \( f(l) \) avrà per coordinate rispetto agli \( e_i \) esattamente le coordinate di \( l \) rispetto a \( \{e_k^\prime\} \), ma...)
edit. Sì, mancava qualche apice.