Ellisse di Keplero

[MaxVag]

Qualcuno mi aiuta a dipanare questo quesito?

Posto su un piano un riferimento cartesiano di centro O intorno al quale il punto A ruota con distanza 227,9 (Circonferenza) mentre un altro punto, B è fisso con distanza 21,2 da O.
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°

α°	\(AB^2\)	AB
0°	42.724,54	206,699=206,7	(R-r)
35,3°	44.501,195	210,953
105,15°	54.912,885	234,334
123,27°	57.668,806	240,184
180°	60.050,46	249,099=249,1	(R+r)
360°	42.724,54	206,699=206,7	(R-r)

Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra una distanza massima (R+r) ed una minima (R-r), determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) di A rispetto a B?

Analizziamoli! I valori indicati da AB nella tabella vanno dall’Afelio=249,1 al Perielio=206,7 x1011 cm del Pianeta Marte, calcolati da Tycho Brahe leggendo i quali KEPLERO intuì essere raggi di una ellisse, tracciati dal moto del Pianeta Marte rispetto al Sole fisso.
Noi per ottenere gli stessi dati di Tycho non abbiamo scritto (apparentemente) alcuna Ellisse.
E’ notevole che se prendo (R+r)=Afelio e (R-r)=Perielio di un qualunque Pianeta ottengo (come visto per Marte) tutte le loro distanze dal Sole, sempre in funzione dell’angolo relativo.
Come mai? E’da una indagine su questo che vorrei sapere qualcosa.
Grazie, MaxVag.

[Shackle]

Ho visto che stai chiedendo informazioni su questo argomento da più di due anni. La risposta è in un libro di R. Feynman : " Il moto dei pianeti intorno al sole" , la cosiddetta lezione perduta di RF ! Questo libro è stato pubblicato vari anni fa, e tradotto da Zanichelli in italiano, non so sei sia ancora in commercio ma non credo. In questo articolo di Wikipedia trovi una descrizione del problema:

https://it.wikipedia.org/wiki/Feynman%2 ... nd_the_Sun

L'animazione mostra come si costruisce una ellisse, a partire da una circonferenza di dato centro, mediante inviluppo di segmenti tangenti : l'ellisse è il luogo geometrico che cerchi, visto da un punto che non è il centro della circonferenza. Dai ai punti i nomi che hai messo tu: O è il centro della circonferenza, A è il punto sulla circonferenza, B è il punto a distanza fissa da O ; I punti O è B sono i fuochi dell’ellisse. In questo link :

http://www.angeloangeletti.it/SEMINARI_ ... eynman.pdf

trovi anche un sunto della spiegazione di Feynman. Leggilo tutto, in particolare da "La legge delle ellissi" , dove è spiegata la costruzione .

[MaxVag]

A Shackle.
Grazie: non sapevo che quel tipo di animazione fosse attribuibile a Feynman.
La mia strada è diversa. Riprendo il discorso lasciato a metà.
\( \overline{AB}=\sqrt{\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2 \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha} =\sqrt{ R^2 +r^2 -2 R r \cos\alpha }=\sqrt{ (R-r)^2\cos^2 \frac{\alpha}{2}+(R+r)^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\sqrt{ b^2\cos^2 \frac{\alpha}{2}+a^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \)
(Tralascio i passaggi intermedi).
L’ultima espressione è quella della ellisse cercata, cioè quella intuita e ipotizzata da Keplero (ma non uguale).
Una dimostrazione più semplice di quella di Feynman è data dal teorema prettamente geometrico “Il Teorema dei Pianeti” (su Google: in pdf – geogebra)
L’importanza del “Teorema dei Pianeti” è che stabilisce una corrispondenza biunivoca tra ellisse e circonferenza, dimostra le leggi di Keplero e non solo; cosa che credo non si possa dedurre dalle considerazioni di Feynman, se non tramite Newton. “Newton dimostra Newton non Keplero” diceva il mio professore.
Data la semplicità del teorema ti prego di dargli una occhiata.
Dopo di chè spero di avere una base per andare avanti su cui discutere.
Ciao MaxVag

[Shackle]

non sapevo che quel tipo di animazione fosse attribuibile a Feynman.

Be', non credo che Feynman avesse tempo per mettersi a fare delle animazioni come quella. Feynman è morto nel 1988, non so quando è nata Wikipedia. Penso che l'animazione derivi dalla sua lezione, ma forse neanche questo è del tutto vero, perchè mi ricordo di aver letto da qualche parte che quella costruzione deriva dall'odografo del moto, data una circonferenza di centro O , raggio OA , e un punto B a distanza $0<OB<OA$ da O , che osserva il moto di A . Ora non ricordo bene, dovrei fare delle ricerche. Ne risulta comunque un'ellisse, di cui O e B sono i fuochi.

L’ultima espressione è quella della ellisse cercata, cioè quella intuita e ipotizzata da Keplero (ma non uguale).
Una dimostrazione più semplice di quella di Feynman è data dal teorema prettamente geometrico “Il Teorema dei Pianeti” (su Google: in pdf – geogebra)
L’importanza del “Teorema dei Pianeti” è che stabilisce una corrispondenza biunivoca tra ellisse e circonferenza, dimostra le leggi di Keplero e non solo; cosa che credo non si possa dedurre dalle considerazioni di Feynman, se non tramite Newton. “Newton dimostra Newton non Keplero” diceva il mio professore.

Tu dici che la tua ellisse non è uguale a quella di Keplero. Dici che la la tua dimostrazione è più semplice di quella di Feynman. Nessuno nega che hai applicato il teorema di Carnot al triangolo AOB , e hai fatto del passaggi analitici, che suppongo corretti (non li ho verificati), e delle belle animazioni con Geogebra. Però scusami, parli di corrispondenza biunivoca, ma mi sembra che, data la circonferenza di raggio OA, si possano costruire infinite ellissi , a seconda di dove metti B dentro il cerchio, no ? Poi dici che dalle considerazioni di Feynman non puoi dedurre le leggi di Keplero, se non passando attraverso Newton, mentre invece dal tuo "Teorema dei pianeti" sei in grado di farlo: be', tieni presente che le leggi di Keplero, basate su osservazioni e dati sperimentali (Brahe...) sono relazioni di carattere solo cinematico. Si deve proprio a Newton la legge di gravitazione universale, per cui $F$ è proporzionale a $1/R^2$, che consente di trovare analiticamente l'orbita di un corpo celeste attorno al Sole (lasciamo pure da parte il problema dei due corpi, supponiamo che il Sole sia molto più massiccio del pianeta che gli gira attorno! ) ; e quest'orbita può essere legata oppure no, dipende dal valore dell'energia totale , cinetica più potenziale...: ellisse, parabola, iperbole...Almeno, cosí ricordo!

Ho guardato il "teorema dei pianeti" su internet , nonché la geometria parametrica:

https://www.google.com/search?client=sa ... 8&oe=UTF-8
http://www.geometriaparametrica.it

e mi sono reso conto che hai fatto tutto tu ! Bravo, sei bravo specie con Geogebra, le tue animazioni sono molto carine!

Dici che vuoi continuare, ma non so in quale direzione: continua pure, visto l’impegno che ci metti. Ciao.

[Brufus]

Il mio professore di storia della scienza spiego' che i punti fissi erano due.il sole e l'intersezione dell'orbita di marte con l'eclittica.

[Faussone]

«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio,
che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale
circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono
vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il
suo centro.»

Chiarissimo...

[Brufus]

Si deve proprio a Newton la legge di gravitazione universale, per cui F è proporzionale a 1R2

Questo è falso.La legge la elaborò Ismael Boulliau che a sua volta venne influenzato da Ruggero Bacone che nell'Opus Majus esponeva la sua teoria sull'azione a distanza.
Newton fece proprio un'altra cosa e cioè dedusse dalla legge dell'inverso dei quadrati le leggi di Keplero.In particolare la prima sulla forma ellittica delle orbite.Ottenne il risultato grazie all'abile uso delle sezioni coniche.
Newton certamente lesse il dialogo di Plutarco 《de facie quae in orbe lunae apparet》 e da qui l'idea di spiegare con le stesse leggi il moto di un sasso e della luna.

[Shackle]

Questo?

http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Po ... lliau.html

ho letto la biografia...Comunque Newton era piú bello...


Nel 1645 pubblicò l'opera Astronomia philolaica, nella quale propose che la forza di gravità seguisse la legge del quadrato inverso. Isaac Newton constatò che questa ipotesi era giusta e nella sua celebre opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ringraziò pubblicamente Bullialdus, del quale citò la teoria, facendo uso delle sue accurate tabelle di osservazione.

[MaxVag]

Scusate il ritardo nel rispondere!
A Shackle.
Vorrei finire le considerazioni iniziate affinchè tu o altri valutino conclusioni a cui sono arrivato.
Il “Teorema dei Pianeti”, che tu hai letto, con i suoi sette punti di esempi dà la corrispondenza biunivoca tra ellisse e circonferenza, alcuni dei quali sono già dati dall’analisi; l’esempio empirico del punto 7 trova attuazione in (su Google) “Area e Perimetro Ellisse – Geometria Parametrica”
http://geometriaparametrica.it/data/_up ... 20Apel.pdf
Su “LA LEGGE DELL’ELLISSE” che mi hai indicato non c’è nulla da eccepire: è un’altra cosa. Ma sulla “NATURA DELLA FORZA DI GRAVITA’” l’autore indica
v=2\piR/T
dove R (nella letteratura almeno) è uguale al semi asse-maggiore dell’ellisse: cioè R=a raggio di una circonferenza che è circoscritta alla ellisse e poi indica, per la 2 legge di Keplero (?? ma non è la 3) T2R3
Questo è geometricamente anzi matematicamente inaccettabile, non può essere contemporaneamente una circonferenza o una ellisse.
A meno che non si tratti della circonferenza corrispondente all’ellisse come indicato dal “Teorema dei Pianeti” che non è il raggio della circonferenza circoscritta ma di una circonferenza il cui raggio è la media degli assi. Come nel mio primo scritto è detto (R+r)= Afelio (asse maggiore) e (R-r)=Perielio (asse minore): R=(Af+Pe)/2=(a+b)/2.
Allora tenendo presente “Area e perimetro Ellisse – Geometria Parametrica” sarà valido scrivere:
v=2 \piR/T e T2=R3 ma con R=(a+b)/2.

Rimane la domanda iniziale: come mai con la semplice applicazione di un Teorema si ottengono le distanze tra un qualunque Pianeta e il Sole? E’ questa la domanda a cui rispondere. Altrimenti è logico che Shackle dica «….hai fatto tutto tu».
Keplero dalle misure di Tycho Brahe sulle distanze tra Marte e il Sole, dedusse che Marte aveva una traiettoria ellittica rispetto al Sole e come conseguenza, senza nessun altro dato di fatto, prova o misurazione, fece muovere anche Marte secondo una ellisse: il resto è storia. Nel nostro caso, invece, dall’applicazione del “Teorema dei Pianeti”, cioè da una applicazione di geometria, otteniamo gli stessi dati dell’ellisse di Keplero.
Una scorciatoia per una stessa soluzione o una legge diversa?
Io sono per quest’ultima.
«I Pianeti ruotano secondo proprie Orbite Circolari e tutti uno rispetto all’altro secondo traiettorie Ellittiche».
La Terra ha orbita circolare ma traiettoria Ellittica rispetto al Sole. La Luna orbita circolare ma traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche una traiettoria ellittica rispetto al Sole. La Terra e la Luna e gli altri Pianeti, hanno traiettorie ellittiche rispetto a tutti gli altri Pianeti: il tutto per COLPA del “Teorema dei Pianeti”.

A Faussone.
Probabilmente hai ragione. La dimostrazione e certo più semplice. Proponi tu una indicazione più semplice ma altrettanto precisa.

Vorrei pregare chi è interessato alla disamina della questione di non porre dimostrazioni tratte dalle Leggi di Newton: queste potranno essere viste dopo a sostegno o demolizione della tesi. Prima ci saranno anche altre considerazioni da fare.
Ciao MaxVag

[Shackle]

Keplero dalle misure di Tycho Brahe sulle distanze tra Marte e il Sole, dedusse che Marte aveva una traiettoria ellittica rispetto al Sole e come conseguenza, senza nessun altro dato di fatto, prova o misurazione, fece muovere anche Marte secondo una ellisse: il resto è storia. Nel nostro caso, invece, dall’applicazione del “Teorema dei Pianeti”, cioè da una applicazione di geometria, otteniamo gli stessi dati dell’ellisse di Keplero.
Una scorciatoia per una stessa soluzione o una legge diversa?
Io sono per quest’ultima.
«I Pianeti ruotano secondo proprie Orbite Circolari e tutti uno rispetto all’altro secondo traiettorie Ellittiche».
La Terra ha orbita circolare ma traiettoria Ellittica rispetto al Sole. La Luna orbita circolare ma traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche una traiettoria ellittica rispetto al Sole. La Terra e la Luna e gli altri Pianeti, hanno traiettorie ellittiche rispetto a tutti gli altri Pianeti: il tutto per COLPA del “Teorema dei Pianeti”.

Verrebbe da chiedere : orbite circolari, rispetto a quale centro? Vedo che fai differenze tra orbita e traiettoria. E qual è la dinamica, responsabile di tutti questi moti? Ma non lo chiedo

Il teorema dei pianeti lo hai fatto tu. Keplero, Newton & company hanno fatto altro. Ti saluto, non continuo.