Campo elettrico indotto da campo magnetico variabile

[Brufus]

Per il rotore usa l'equazione di maxwell $ rot (vec E(vec x,t))=- frac {partial}{partial t} vec B(vec x,t) $

[Brufus]

Voglio comunque tentare di fugarti ulteriori dubbi.

Quando scrivi $int E cdot dl $ sappi che stai scrivendo una cosa sbagliata. Infatti il campo elettrico è un vettore $vec E $ mentre se scrivi $E $ lasci intendere che vuoi descrivere solo il suo modulo.Ora in analisi esistono vari tipi di integrali e si denotano con simboli tipografici diversi. Se $f: R rightarrow R $allora su un'intervallo$ [a,b] $la scrittura $int_a^b f (x)dx $ rappresenta l'integrale definito di Riemann per il quale vale il teorema fondamentale del calcolo.In questo ambiente ha senso fare la derivata che vorresti $ frac {d}{dx}int_a^x f (t)dt= f (x) $.Questo ovviamente se $f $ è quantomeno limitata. Inoltre esistono altri tipi di integrali tra cui gli integrali di forme differenziali che tra le altre cose racchiudono l'integrale precedente come caso banale. Senza entrare in dettagli che richiederebbero un corso, questi nuovi integrali si scrivono $int_gamma omega $ dove $omega$ è appunto la forma differenziale e $gamma $ è il sostegno di una curva su cui calcoliamo l'integrale.Per un fisico $omega $ rappresenta il lavoro elementare che compie una forza $vec F $ lungo un tratto infinitesimale di curva $vec dx $ mentre per un matematico $omega =vec F cdot vec dx= F_1dx+F_2dy$ rappresenta una sezione del fibrato cotangente (che poi è l'unica vera definizione).Ora il punto della questione è il seguente:se interpreti $omega$ come i fisici prima o poi ti ritrovi spaesato come lo sei tu ora perché utilizzi calcoli formali tipografici privi di ogni senso.
Volendo fare le cose fatte bene ora ti mostro perché $E $ esce fuori da quell'integrale di prima.

Prima di tutto tu sai che $vec E $ è tangente al sostegno della curva gamma cioè è parallelo al vettore tangente$ dot vec x$ ovverosia $ vec E(t)= lambda (dot x(t),dot y(t)) $ed ora supponendo che il sostegno di $gamma $sia parametrizzato da $vec gamma (t)=(x (t),y (t)) t in [a,b] $ avremo in virtù della definizione che ti ho scritto nell'altro messaggio $int_gamma omega= int_a^b E_1(x (t),y (t))dot x (t)+E_2 (x (t),y (t))dot y dt=int_a^b lambda ((dot x)^2+(dot y)^2)dt = lambda sqrt {dot x^2+dot y^2}int_a^b frac {dot x^2+dot y^2}{sqrt {dot x^2+dot y^2}}dt = E int_a^b |vec dot gamma| dt $ dove l'ultimo integrale è la definizione di lunghezza di una curva.Pertanto chiamando $L (gamma) $la lunghezza della curva parametrizzata da $vec gamma (t) $ abbiamo dimostrato che nel caso in cui il campo vettoriale è tangente alla curva vale l'espressione $int_gamma omega= int_gamma vec E cdot vec dx = E int_a^b |vec dot gamma| dt =E cdot L (gamma) $ cosa che un fisico riassume scrivendo cose senza alcun senso tipo $int_gamma vec E cdot vec dx= vec E cdot int_gamma vec dx=.... $.
Spero di esserti stato utile

[DeltaEpsilon]

Il modulo della fem è \(\displaystyle \varepsilon = 2\pi R \cdot E \) dunque \(\displaystyle E = \frac{\varepsilon}{2\pi R} \) che è un valore che non dipende da nulla, nel dal tempo ne dallo spazio.

Dunque quando mi chiede di valutare E in P(R,0,0) non ha molto senso...

Per il rotore usa l'equazione di maxwell $ rot (vec E(vec x,t))=- frac {partial}{partial t} vec B(vec x,t) $

Che è immediato, è uguale a -5 e risulta il campo elettrico non conservativo

Quando scrivi $int E cdot dl $ sappi che stai scrivendo una cosa sbagliata. Infatti il campo elettrico è un vettore $vec E $ mentre se scrivi $E $ lasci intendere che vuoi descrivere solo il suo modulo.

Lo so lo so! Solo che mi viene malissimo: \(\displaystyle \underset{E}{\rightarrow} \) e non sapendo farla meglio metto direttamente E per pigrizia/estetica

Però ho rubato il tuo codice e ora lo so fare $vec E $ $vec E $ $vec E $ $vec E $

ma il mio editor non lo supporta quindi probabilmente me ne dimenticherò

Volendo fare le cose fatte bene ora ti mostro perché $E $ esce fuori da quell'integrale di prima.

Prima di tutto tu sai che $vec E $ è tangente al sostegno della curva gamma cioè è parallelo al vettore tangente$ dot vec x$ ovverosia $ vec E(t)= lambda (dot x(t),dot y(t)) $ed ora supponendo che il sostegno di $gamma $sia parametrizzato da $vec gamma (t)=(x (t),y (t)) t in [a,b] $ avremo in virtù della definizione che ti ho scritto nell'altro messaggio $int_gamma omega= int_a^b E_1(x (t),y (t))dot x (t)+E_2 (x (t),y (t))dot y dt=int_a^b lambda ((dot x)^2+(dot y)^2)dt = lambda sqrt {dot x^2+dot y^2}int_a^b frac {dot x^2+dot y^2}{sqrt {dot x^2+dot y^2}}dt = E int_a^b |vec dot gamma| dt $ dove l'ultimo integrale è la definizione di lunghezza di una curva.Pertanto chiamando $L (gamma) $la lunghezza della curva parametrizzata da $vec gamma (t) $ abbiamo dimostrato che nel caso in cui il campo vettoriale è tangente alla curva vale l'espressione $int_gamma omega= int_gamma vec E cdot vec dx = E int_a^b |vec dot gamma| dt =E cdot L (gamma) $ cosa che un fisico riassume scrivendo cose senza alcun senso tipo $int_gamma vec E cdot vec dx= vec E cdot int_gamma vec dx=.... $.
Spero di esserti stato utile

Ti ringrazio infinitamente! Sei stato chiarissimissimo

[mgrau]

Il modulo della fem è \(\displaystyle \varepsilon = 2\pi R \cdot E \) dunque \(\displaystyle E = \frac{\varepsilon}{2\pi R} \) che è un valore che non dipende da nulla, nel dal tempo ne dallo spazio.

Dunque quando mi chiede di valutare E in P(R,0,0) non ha molto senso...

Veramente dipende eccome. La f.e.m. lungo una circonferenza di raggio R ha quel valore, ma se prendi un punto a differente distanza dal centro, trovi in valore diverso. Quindi chiedere di valutare E in P ha abbastanza senso...
BTW, se tu pensi che E sia costante dappertutto (suppongo), che direzione pensavi che avesse?

[DeltaEpsilon]

Benissimo, quindi quando calcolo il rotore in pratica devo considerare solo la derivata rispetto a R che in realtà poi si estende sull'asse delle x?

[Brufus]

Il rotore che intendo nella mia formula è scritto in coordinate cartesiane.Se usi $R $ sei passato in cilindriche.In ogni caso deriva $vec B $ rispetto al tempo e trovi il rotore.

[DeltaEpsilon]

Grazie infinite a entrambi!