Quante basi ci sono questo generatore di \( \mathbb Q^3 \)?

Messaggioda marco2132k » 10/12/2019, 16:04

\( \newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Ciao.
Trovare tutte le basi di \( \mathbb Q^3 \) contenute in \( E = \left\{\pt{2}{-3}{0},\pt{1}{-2}{1},\pt{1}{1}{0},\pt{0}{-1}{4}\right\}\subset\mathbb Q^3 \), dove \( \mathbb Q^3 \) è un \( \mathbb Q \)-spazio vettoriale.


Trovare una base è banale: dato un qualsiasi sottoinsieme finito \( E \) di uno spazio vettoriale, se esso contiene almeno un vettore non nullo \( l_1 \), l'insieme \( E^\prime = \{l_1\} \) può essere portato ad un sottoinsieme massimale che ha per span lo stesso spazio generato da \( E \). Nel caso in questione, scelgo come mio vettore non nullo preferito \( \pt110 \), e vedo che
I. \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \) non sono proporzionali, i.e., \( E^{\prime\prime} = E^\prime\cup\left\{\pt2{-3}{0}\right\} \) è linearmente indipendente;
II. \( \pt0{-1}4 \) non è combinazione lineare di \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \);

allora, dato che ho tre vettori di \( \mathbb Q^3 \) linearmente indipendenti, questi devono generarlo.

Il prof. scrive, invece, un generico vettore \( \pt abc \) di \( \mathbb Q^3 \) come combinazione lineare dei vettori dati, e verifica che questi effettivamente generano tutto lo spazio. In base a che cosa afferma che "tutte le basi estratte dai vettori dati si ottengono aggiungendo al vettore \( \pt110 \) due tra i tre vettori che compaiono nella relazione di dipendenza lineare1"?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Tra l'altro, io ho scelto il vettore \( \pt110 \) come vettore da cui partire per costruire una base perché ho definito all'inizio del post una macro
Codice:
\newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigl)}
e scrivere
Codice:
\pt110
costa meno fatica rispetto a digitare
Codice:
\pt2{-3}0


Perché lui è partito da quello?

Note

  1. La "relazione di dipendenza lineare" è
    \[
    \pt abc = x_1\pt2{-3}0 + x_2\pt1{-2}1 + x_3\pt110 + x_4\pt0{-1}{4}
    \] da cui si ottiene
    \[
    \begin{align*}
    x_1 &= \frac a5 - \frac b5 - \frac c10\\
    x_2 &= 0\\
    x_3 &= \frac{3a}5 + \frac{2b}5 + \frac c5\\
    x_4 &= \frac c4
    \end{align*}
    \]
marco2132k
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Re: Quante basi ci sono questo generatore di \( \mathbb Q^3 \)?

Messaggioda Bokonon » 10/12/2019, 20:59

Se usi gauss-jordan realizzi che qualsiasi terna di vettori va bene (prova a metterla in forma triangolare superiore e la commentiamo assieme).
L'affermazione del prof. è vera ma (in questo caso) non è esclusiva...è solo che il vettore più "bello" di solito si tiene, tutto qua.
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