Re: Vi sembra giusta questa dimostrazione

Messaggioda jinsang » 10/12/2019, 23:38

Ma nel testo la sommatoria non deve partire da 0? Se no a me sembra falso anche per $f(x)=x^2$... :?:
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Re: Vi sembra giusta questa dimostrazione

Messaggioda jinsang » 11/12/2019, 01:03

Comunque, se il testo corretto è quello con la sommatoria che parte da 0, allego una possibile dimostrazione (che interpreta un po' quello che ha detto nexus qualche messaggio fa):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dato $f$ polinomio tale che \( f(x) \geq 0 \ \ \forall x \) (quindi forzatamente di grado pari, diciamo $n$)
Pongo \( h(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) \)
Voglio dimostrare \( h(x) \geq 0 \ \ \forall x \)

Poiché $h$ è polinomio di grado pari vale \( \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=+\infty \)
Quindi $h$ assume minimo in \( x_{min} \)
Quindi \( 0=h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min}) \)
Da cui \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min}) \geq 0 \)
Segue la tesi.
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Re: Vi sembra giusta questa dimostrazione

Messaggioda dissonance » 11/12/2019, 07:53

@jinsang: non riesco a capire perché \(\sum f^{(k)}(x_{\mathrm{min}})\) sia uguale a \(f(x_{\mathrm{min}})\).

interpreta un po' quello che ha detto nexus

Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat. :-D :-D :-D
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Re: Vi sembra giusta questa dimostrazione

Messaggioda jinsang » 11/12/2019, 08:22

dissonance ha scritto:non riesco a capire perché $\sumf^{(k)}(x_{min})$ sia uguale a $f(x_{min})$.

Perché \( h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})=0 \)
E quindi \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min})+\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})= f(x_{min})+ h'(x_{min})=f(x_{min}) \)

dissonance ha scritto:Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat. :-D :-D :-D

E' vero! S'è fermat tropp prest :-D :-D
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Re: Vi sembra giusta questa dimostrazione

Messaggioda dissonance » 11/12/2019, 10:13

:-D :-D :-D

Buona dimostrazione.
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