Comunque, se il testo corretto è quello con la sommatoria che parte da 0, allego una possibile dimostrazione (che interpreta un po' quello che ha detto nexus qualche messaggio fa):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dato $f$ polinomio tale che \( f(x) \geq 0 \ \ \forall x \) (quindi forzatamente di grado pari, diciamo $n$)
Pongo \( h(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) \)
Voglio dimostrare \( h(x) \geq 0 \ \ \forall x \)
Poiché $h$ è polinomio di grado pari vale \( \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=+\infty \)
Quindi $h$ assume minimo in \( x_{min} \)
Quindi \( 0=h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min}) \)
Da cui \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min}) \geq 0 \)
Segue la tesi.