Buongiorno!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi diagonalizzabili.
La traccia è la seguente: Sia φ un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Supponiamo che φ abbia n autovalori distinti. Dimostrare che esiste un vettore v ∈ V tale che l’insieme { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sia una base di V .
Io so che, avendo n autovalori distinti, esiste una base di autovettori, tale che la matrice associata a $ varphi $ rispetto a tale base è diagonale.
So anche che il vettore v a cui allude l’esercizio non può essere qui nessuno di questi autovettori, perché applicando $ varphi $ anche solo una volta troverei che v e la sua immagine sono linearmente dipendenti.
Penso allora che il vettore in questione debba essere combinazione lineare di tutti gli autovettori della base.
Tuttavia non ne sono sicuro, perché non riesco a dimostrare che { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sono linearmente dipendenti (magari non lo sono nemmeno).
Suggerimenti?
Grazie in anticipo