Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Pasquale 90 » 11/12/2019, 13:32

Buongiorno,
Ho la seguente proposizione
L'intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V(K)$ è un sottospazio

Quindi se prendo $RR^n:=V(K)$ e considero i sottospazi $RR^2$ e $RR^3$ la loro intersezione è un sottospazio.

Ora come posso determinare la forma di tale sottospazio..... dovrei determinare la base dell'intersezione ?

Ciao
Pasquale 90
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Sergio » 11/12/2019, 15:17

Pasquale 90 ha scritto:L'intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V(K)$ è un sottospazio
Quindi se prendo $RR^n:=V(K)$ e considero i sottospazi $RR^2$ e $RR^3$ la loro intersezione è un sottospazio.

I casi sono due.
a) Sono ancora appesantito dal pranzo e connetto poco.
b) Sei caduto in errore. $RR^2$ e $RR^3$ non possono essere sottospazi di uno stesso spazio vettoriale, anche se lo indichi genericamente con $RR^n:=V(K)$. Quanto vale $n$? Vale $2$ o vale $3$?
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Pasquale 90 » 11/12/2019, 17:36

Ottimo, grazie x la risposta.

Cioè la proposizione dice : una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale, quindi posso prendere una qualsiasi coppia di sottospazi di un dato spazio vettoriale, cioè cosi la interpreto :-) :-)

Quindi se considero lo spazio vettoriale $RR^4$, i suoi sottospazi sono $RR^2$ e $RR^3$ ?

Sergio ha scritto:a) Sono ancora appesantito dal pranzo e connetto poco.


Ci vuole un digestivo.... :)
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Sergio » 11/12/2019, 19:44

Pasquale 90 ha scritto:Quindi se considero lo spazio vettoriale $RR^4$, i suoi sottospazi sono $RR^2$ e $RR^3$ ?

Un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$ non è uno spazio vettoriale "simile" ma di minore dimensione. È invece un sottoinsieme di $V$ chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare.
Sottoinsieme vuol dire: "alcuni elementi di $V$, anche non tutti".
Se $V=RR^4$, i suoi elementi sono del tipo $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e puoi ottenere un sottoinsieme scegliendo solo alcuni degli elementi che appartengono a $V$, ad esempio "$(x_1,x_2,x_3,x_4)$ con $x_1=2x_3$", oppure "$(x_1,x_2,x_3,x_4)$ con $x_2+x_4=0$" ecc.
Elementi del tipo $(x_1,x_2)$ o $(x_1,x_2,x_3)$ non appartengono a $V$ e non possono quindi costituire un suo sottoinsieme. In altri termini, $RR^2$ e $RR^3$ non sono sottoinsiemi di $V$.
Ancor meno ne sono sottospazi.
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Pasquale 90 » 11/12/2019, 21:35

Perfetto, ho capito il mio errore....grazie mille !! :-)
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Sergio » 12/12/2019, 00:51

Pasquale 90 ha scritto:Perfetto, ho capito il mio errore....grazie mille !! :-)

Prego. Ma non ti preoccupare: è un errore in cui all'inizio cadono in molti :)
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Pasquale 90 » 13/12/2019, 10:13

Buongiorno Sergio, scusami se riprendo di nuovo, ma faccio un esempio per verificare se ho capito.

Considero lo spazio vettoriale $RR^3$ e due piani nello spazio cioè il piano $xy$ e il piano $yz$.
Procedo cosi :
Equazione del piano nello spazio
$ax+by+cz+d=0$

1) piano $xy$ ha equazione $ax+by+d=0$
2) piano $yz$ ha equazione $by+cz+d=0$

I seguenti sottoinsiemi
$H_1={(x,y,z) in RR^3\ :\ ax+by+d=0}$ e $H_2={(x,y,z) in RR^3\ :\ by+cz+d=0}$
sono sottospazi di $RR^3$ dove $a,b,c,d in RR$.
Se fin quì va tutto bene, devo fare l'intersezione $ H_1 cap H_2 $, quindi
a) determino le basi dei sottospazi
b) determino il vettore $w$ dell'intersezione

ora mi fermo perchè non lo so se quello che ho scritto fino adesso è corretto...

Grazie :-)
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Bokonon » 13/12/2019, 11:45

Il piano xy è $z=0$
Il piano yz è $x=0$

Inoltre i piani che hai scritto non passano per l'origine quindi non sono spazi vettoriali ma affini.
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Pasquale 90 » 13/12/2019, 13:49

Ciao,
non sono molto pratico con la geometria analitica, la sto imparando man man che mi serve, quindi ti chiedo di capirmi se faccio domande banali, detto questo, quando dici il piano $xy$ è $z=0$ cosa si intende ??

Io quello che so' è l'equazione del piano nello spazio
$ax+by+cz+d=0$,
quindi, quando dici il piano $xy$ intendi il generico piano cartesiano formato dall'asse x e dall'asse y ortogonali tra di loro ?
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Re: Intersezione di sottospazi vettoriali.

Messaggioda Bokonon » 13/12/2019, 14:06

Pasquale 90 ha scritto:quando dici il piano $xy$ è $z=0$ cosa si intende ??

Si intende un foglio in cui metti i classici assi X e Y e poi prendi una penna e la metti in piedi sul punto dell'origine (il tuo asse Z). In 3D il piano XY è quando la z=0 e lasci variare le altre due coordinate.

Se invece scrivi $z=2$ hai un piano parallelo al piano XY ma traslato verso l'alto di due tacche lungo l'asse Z.
$z=0$ è un sottospazio vettoriale, $z=2$ no, perchè non contiene l'origine.
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