Determinare gli estremi della funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2y \) in \(\displaystyle Z = \left \{ x^2+y^2 = 1 \right \}
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare
3) Punti critici sulla frontiera
\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)
esplicito rispetto a x
\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)
allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y
\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)
la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)
Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:
\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)
\(\displaystyle g(1) = 0 \)
\(\displaystyle g(-1) = 0 \)
I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle
\left (
\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}
\right )
\)
Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!