Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 14:38

dissonance ha scritto:Quanto al modulo, è vero che c'è chi richiede modulo unitario, ma poco male. Rifai il conto con \((1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)\); ti dovrebbe venir fuori lo stesso risultato di prima, ma moltiplicato per \(1/\sqrt 2\). E adesso tocca andare a vedere se è verificato il teorema.

Calcolando la derivata direzionale con la definizione, il limite del rapporto incrementale mi viene +infinito

Mentre se faccio il prodotto scalare tra gradiente di f in (0,0) e (\(1/\sqrt 2\) , \(1/\sqrt 2\)) viene 0 che è diverso da +inf quindi la funzione non è differenziabile.

E' esatto?

dissonance ha scritto:Quel tuo rivolgersi a "noi", mi fa pensare che tu creda che siamo una organizzazione, e siamo tutti d'accordo. Non è assolutamente così, siamo un forum di amatori e siamo qui solo per discutere e crescere insieme.

Questo è ovvio... però vedevo che nessuno "smentiva" e quindi come potevo non pensare che foste tutti d'accordo riguardo la direzione (1,1)?
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda dissonance » 12/12/2019, 14:41

Adesso ti viene infinito? Ma prima non ti veniva un valore finito? Posta il conto.
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 14:49

dissonance ha scritto:Adesso ti viene infinito? Ma prima non ti veniva un valore finito? Posta il conto.

Prima io non avevo considerato la direzione (\(1/\sqrt 2\) , \(1/\sqrt 2\)) bensì la direzione (1,1) che abbiamo poi scoperto non andare bene

\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(\frac{1}{\sqrt{2}}+t , \frac{1}{\sqrt{2}}+t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt{ (\frac{1}{2} + t^2 + \frac{2t}{\sqrt{2}})\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}+t) }}{t} =
\frac{\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}}}}{0} = \infty \)
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda dissonance » 12/12/2019, 15:18

Ma come la hai calcolata questa derivata? Applica bene la definizione. La t deve moltiplicare, non dividere, 1\sqrt 2. Come ho detto prima, considerare (1,1) o l'altro vettore è essenzialmente lo stesso, cambia solo un fattore.
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 16:10

dissonance ha scritto:Ma come la hai calcolata questa derivata? Applica bene la definizione. La t deve moltiplicare, non dividere, 1\sqrt 2. Come ho detto prima, considerare (1,1) o l'altro vettore è essenzialmente lo stesso, cambia solo un fattore.

Sono ritardato.

Si, mi viene un prodotto scalare del tipo \(\displaystyle (0,0) \cdot (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) = 0 \) che non coincide con la derivata direzionale, che è anch'essa \(\displaystyle 1/\sqrt{2} \)

Quindi f non differenziabile. Grazie per l'aiuto!



.



Rimane però la domanda: come faccio a trovare la direzione, nel caso in cui non è immediata? Non credo che andare a tentativi mi sia molto utile... (l'approccio di arnett non l'ho capito :smt114)
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda Bokonon » 12/12/2019, 16:52

Non provi tutte le direzioni.
Schemino:
a) se ti chiedono di dimostrare che una funzione è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità...NON ti metti a provare che la derivata direzionale esiste per tutti gli infiniti percorsi possibili.
b ) se ti chiedono di dimostrare che una funzione NON è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità oppure esplori le derivate direzionali per $y=0$ e $x=0$ e:
b1) se non coincidono hai finito
b2) se coincidono allora provi la direzione generica $y=tx$ (se poi "vedi" che, per esempio, per $t=1$ raggiungi già il risultato sperato vai per quella come ha fatto Arnett) e trovi magari l'unica direzione per cui effettivamente la derivata direzionale non esiste oppure esiste ma ha un valore diverso da tutte le precedenti.

Un'altra cosa utile da osservare è se una funzione è simmetrica. Per esempio questa è simmetrica rispetto all'asse Y, quindi se ci si muove nel primo quadrante lungo la direzione/retta $y=x$ verso l'origine, oppure dal terzo quadrante, avrai il medesimo risultato. Stessa cosa per il secondo e quarto quadrante.
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 19:02

Bokonon ha scritto:Non provi tutte le direzioni.
b ) se ti chiedono di dimostrare che una funzione NON è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità oppure esplori le derivate direzionali per $y=0$ e $x=0$ e:
b1) se non coincidono hai finito
b2) se coincidono allora provi la direzione generica $y=tx$ (se poi "vedi" che, per esempio, per $t=1$ raggiungi già il risultato sperato vai per quella come ha fatto Arnett) e trovi magari l'unica direzione per cui effettivamente la derivata direzionale non esiste oppure esiste ma ha un valore diverso da tutte le precedenti.


Grazie per il contributo ma non capisco un particolare.

Perchè dici che le derivate direzionali devono coincidere tutte e se non coincidono non è differenziabile?
Il teorema delle derivate direzionali parla di esistenza della derivata direzionale, e che questa deve coincidere con il prodotto scalare tra direzione e gradiente... ma non parla che devono coincidere tutte tra loro.

Mi sfugge qualcosa forse?
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Re: Verificare che funzione non è differenziabile

Messaggioda Bokonon » 12/12/2019, 22:40

No, hai ragione ho semplificato troppo perchè in genere i punti critici sono punti di sella (termine inteso in senso allargato). Domani rimedio e provo anche a spiegarmi molto meglio di quanto ho fatto (obiettivamente ho scritto il post con i piedi).
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