Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda Pasquale 90 » 12/12/2019, 11:49

Buongiorno, ho il seguente esercizio riguardante le proprietà delle funzioni, ossia
sia $f:QQ to QQ $ definità ponendo
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} f(-1)=0 \\ f(x)=\tfrac{2}{x+1} \ \qquad \forall x \in \mathbb{Q-({-1})} \\ \end{cases} \)


1) verificare che è biettiva
2) determinare la sua inversa
3) determinare l'insieme $f(NN_d)$

Ora per rispondere alla 1) procedo cosi

$ *** f$ è biettiva se e solo $|f^(-1)({y})|=1$

Si hanno due casi
a) $y=0$
b) $y ne 0$

per il primo caso $y=0$ si ha $f^(-1)({0})=-1$ quindi $|f^(-1)({0})|=1$;
per il secono caso $y ne 0$ si ha $f^(-1)({y})={x in QQ : f(x)=y}={x in QQ : y=2/(x+1)}={x= (1-y)/y}$

a questo punto mi blocco, cioè "si vede" che ha cardinalità uguale a 1, però non riesco a dimostrarlo... come posso procedere ?
Ultima modifica di Pasquale 90 il 12/12/2019, 17:43, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio su proprità di funzioni.

Messaggioda Reyzet » 12/12/2019, 12:35

Fondamentalmente hai provato la suriettività, devi provare che è iniettiva (che è equivalente a richiedere che le fibre $f^-1(y)$ abbiano cardinalità 1).
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Re: Esercizio su proprità di funzioni.

Messaggioda Pasquale 90 » 12/12/2019, 12:54

Reyzet ha scritto:devi provare che è iniettiva (che è equivalente a richiedere che le fibre $f^-1(y)$ abbiano cardinalità 1).


si proprio questo voglio provare, ma non so come procedere, cioè adesso ho determinato questo insieme $f^(-1)({y})=...=...={x=(1-y)/y}={(1-y)/y}$ devo far vedere che abbia cardinalità pari a uno.
Quest'ultimo ha cardinalità pari a uno se prendo il singleton di ${y}$ ma non so se dire cosi è formalmente corretto
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Re: Esercizio su proprità di funzioni.

Messaggioda gugo82 » 12/12/2019, 16:05

Scusa, ma cosa contiene l’insieme $f^(-1)(\{y\})$?
L’hai calcolato, quindi…
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda Pasquale 90 » 12/12/2019, 16:47

Ciao gugo82, grazie per la risposta.
Contiene l'elemento $x' in QQ \:\ x'=(1-y)/y.$ Il problema è più di forma che di sostanza, cioè mi spiego meglio, ho determinato l'insieme $I=f^(-1)({y})$, posso dire che l'insieme l'insieme $I$ è costituito da un solo elemento $x' in QQ$, perchè sto considerando solo il singleton di ${y}$.

Il problema che non riesco a formalizzare, tutto quà, spero che si sono fatto capire.

Ciao
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda vict85 » 12/12/2019, 17:55

Fissato \(y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\), \(\displaystyle\frac{1 - y}{y}\) è un numero reale ben determinato.

Comunque siano \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\) tali che \(\displaystyle\frac{2}{x_1+1} = \frac{2}{x_2+1}\) allora
\[\begin{align*} \frac{2}{x_1+1} &= \frac{2}{x_2+1}\\
2(x_2+1) &= 2(x_1+1)\\
x_2 &= x_1
\end{align*}\]
Dubbi?
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda Pasquale 90 » 12/12/2019, 18:08

Grazie vict85,
quindi, basta dire semplicimente quello che hai scritto tu, cioè
vict85 ha scritto:Fissato \( y\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \), \( \displaystyle\frac{1 - y}{y} \) è un numero reale ben determinato.

per essere formalmente corretti ?
Inoltre
vict85 ha scritto: Comunque siano \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}\setminus \{-1\} \) tali che \( \displaystyle\frac{2}{x_1+1} = \frac{2}{x_2+1} \) allora
\[ \begin{align*} \frac{2}{x_1+1} &= \frac{2}{x_2+1}\\ 2(x_2+1) &= 2(x_1+1)\\ x_2 &= x_1 \end{align*} \]
Dubbi?

si quì hai applicato la definizione di funzione iniettiva, me ne sono accorto in corso d'opera che si poteva procedere anche in questa maniera, ovviamente più facile :)
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda gugo82 » 12/12/2019, 20:08

Dicevo, cosa contiene l’insieme $f^(-1)(\{y\})$?
Per definizione, contiene le soluzioni dell’equazione $f(x)=y$.

Hai risolto l’equazione $f(x)=y$ e quante soluzioni hai trovato?
Una.

Dunque, quanti elementi ha $f^(-1)(\{y\})$?
Chissà… :lol:
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda Pasquale 90 » 12/12/2019, 21:47

Tutto chiaro, siete stati d'aiuto..grazie mille.
Domani continuerò la parte rimasta...anche se già l'ho fatta :-D :-D

Buona serata.
Pasquale 90
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Re: Esercizio su proprietà di funzioni.

Messaggioda mario9555 » 12/12/2019, 22:02

Quando hai a che fare con funzioni i cui dominio e codominio sono insiemi numerici,spesso, il modo più rapido ed efficace per dimostrare la biettività, consiste nel verificare che l'equazione

$f(x)=y$

(nell'incognita x appartenente al dominio, e nel parametro y appartenente al codominio), ha una ed una sola soluzione (in matematica, tale locuzione, indica che l'oggetto in questione deve esistere ed essere unico).

Nel tuo caso specifico, l'equazione $f(x)=y$ , se $y=0$, è banalmente risolta per $x=-1$. Se,invece, $y!=0$, si può ovviamente supporre $x!=-1$; in tal caso l'equazione è equivalente a

$2/(x+1)=y<=> x=(2-y)/y$.

Poichè siamo nell'ipotesi in cui $x in QQ-{-1}$, va verificato che $(2-y)/y!=-1$, ma ciò è equivalente a $2!=0$, per cui la soluzione trovata è accettabile.

Per quanto riguarda l'inversa $f^-1:QQ->QQ$ , essa è definita ponendo:

$f^-1(0)=-1$, $f^-1(x)=(2-x)/x$ se $x in QQ-{0}$

Sia $x in QQ$. Allora, si può porre $x=m/n$ con $m,n inZZ, n>=1$, e si ha

$x in NN_d<=>n|m , m>=nd$ (in particolare, si osservi che $x!=-1$). Allora

$f(NN_d)={(2n)/(m+n): m,n inZZ,n>=1,n|m,m>=nd}$
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