Algebra lineare con un po' di combinatoria

[randomUser123]

Ciao a tutti, ho postato una domanda su MSE e ho pensato di proporla anche in questo forum nella speranza di un qualche aiuto. Ne riporto il testo:

I'm looking for ways to simplify the following combinatorial expression: $$S=\sum_{ij}^d\sum_{y\in\{0,1\}^d}2|y|X_{ji}(-1)^{y^j+y^i},$$ where the second sum is over all vectors $y$ of lenght $d$ made of only $0$'s and $1$'s (for a total of $2^d$ possibilities), $|y|$ represents the weight of the vector (i.e. the sum of all the $1$'s in it), $X_{ji}$ is a self-adjoint matrix such that $\text{Tr}(X)=1$, and $y^i$ is the $i-$th component of the vector.

The case $i=j$ may be treated separately: since $(-1)^{2y^i}=1$ and $|y|=\{0,...,d\}$ with multiplicity \(\binom{d}{|y|}\) the sum can be factorized and computed as $$2\left(\sum_i X_{ii}\right)\left(\sum_{|y|=1}^{d}|y|\binom{d}{|y|}\right)=2^dd.$$ For the case $i\ne j$ it seems harder to derive a simple expression depending only on the off-diagonal elements of $X$. Can anyone give me a hint?

Spero che l'inglese non sia un problema. Ovviamente non cerco soluzioni complete, solo qualche idea per continuare.

[dissonance]

Da dove viene fuori quell'espressione? A prima vista non vedo grandi possibilità per semplificare i termini non diagonali. L'unica informazione che hai è che \(X\) è simmetrica.

[axpgn]

Il crossposting però non si fa, cancella l'altra ...

[randomUser1234]

Scusate, per qualche ragione non riesco ad accedere con l'altro account.

Il problema originale è a metà strada tra la Meccanica Quantistica e la Teoria dei Grafi: si tratta di calcolare il valor medio del Laplaciano discreto del grafo ipercubo $d-$dimensionale in uno stato quantistico puro generico, ovvero la quantità $\text{Tr}(\rho L)$, dove \(\rho=|\psi\rangle\langle\psi|\) è la matrice densità dello stato (nel testo l'ho chiamata $X$), e $L$ il Laplaciano discreto (o matrice di Kirchoff).

In particolare ho usato l'espansione spettrale di $L$ tenendo presente che i suoi autovalori $\xi_j=2j$ hanno degenerazione \(\binom{d}{j}\) per $j=1,...,d$ sugli autovettori dati dalle colonne della matrice definita ricorsivamente come
$$B_d=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} B_{d-1} & B_{d-1} \\ B_{d-1} & -B_{d-1}\end {bmatrix} \qquad \qquad B_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end {bmatrix}$$ e ho scritto \(|\psi\rangle=\sum_ic_i|i\rangle\) nella base ortonormale della posizione (\(|i\rangle=(0...1...0)^T\), \(\langle i|j\rangle=\delta_{ij}\)).

L'idea di base era riformulare il problema rappresentando ciascuno dei $2^d$ vertici $y$ come un vettore lungo $d$ di $0$ e $1$, e indicizzare con essi gli autovettori, in modo da averne esplicitamente la funzione d'onda \(\langle x|\xi_y\rangle=\xi_y(x)=(-1)^{y^Tx}\) (con autovalore $\xi_y=2|y|^2$).

Dal Laplaciano scritto in questi termini \(L = \sum_{y\in\{0,1\}^d}\xi_y|\xi_y\rangle\langle\xi_y|,\) si ottiene l'espressione dell'OP.

Non avendo la soluzione generale ho svolto i conti per il quadrato e il cubo, da cui sembrerebbe che la matrice densità contribuisce con la somma delle entrate fuori da ambo le diagonali.

[axpgn]

Oltre al crossposting, la doppia utenza … … sei un nuovo utente, i tuoi primi post devono essere approvati, devi avere pazienza, non crearti decine di utenze … senti i moderatori …

[randomUser1234]

Oltre al crossposting, la doppia utenza … … sei un nuovo utente, i tuoi primi post devono essere approvati, devi avere pazienza, non crearti decine di utenze … senti i moderatori …

Ho aspettato un paio di giorni per il primo post e ho pensato che fosse stato eliminato. Se riuscissi ad accedere con il primo account lo cancellerei. Chiedo scusa per queste violazioni del regolamento

[dissonance]

E' una domanda specialistica e non so se sarà facile avere risposta. Quanto al crossposting, metti almeno un link al messaggio originale su Math.SE. Il punto è evitare che qualcuno si metta a pensare alla tua domanda mentre magari è stata già risolta da un'altra parte. Mettere link è almeno un palliativo.