Funzione strettamente monotona particolar

[LoreT314]

Stamattina stavamo vedendo a lezione che il fatto che una funzione definita su un intervallo aperto, derivabile su tutto il dominio, sia strettamente crescente non implica che la derivata sia strettamente positiva. Una classica cubica è un lampante controesempio. Mi sono allora chiesto però questo. Se chiamo A l'insieme dei punti in cui la derivata si annulla
$A={x:f'(x) =0}$
posso concludere che i punti di A sono tutti isolati? Mi viene da pensare che ciò è falso, ma non riesco a trovare un controesempio. Immagino che sia un discorso simile a quella famosa funzione continua su $RR$ ma mai derivabile. Magari si deve comportare come un frattale... Io sono riuscito solo a pensare che la derivata della funzione che cerco deve essere sempre positiva e annullarsi in un insieme di punti che si accumula. Insomma tipo $sin^2(1/x)$
Però poi non riesco a trovare esplicitamente una funzione che vada bene. Mi sapete aiutare?

[Mathita]

Non mi è molto chiaro quello che chiedi. Se ho interpretato bene, vorresti dimostrare che:

data una funzione $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ derivabile in $(a,b)$ e strettamente monotona. Se $A=\{x\in (a,b): f'(x)=0\}$ è un insieme non vuoto, allora è composto esclusivamente da punti isolati.

Ho capito la domanda?

[LoreT314]

Si esatto
O smentire tale affermazione nel caso in cui fosse falsa (come credo io)

[Bokonon]

Si smentisce facilmente. Se quei punti sono di massimo o minimo allora la funzione non è strettamente crescente.

Nella sostanza una funzione strettamente crescente/decrescente potrebbe avere dei punti di flesso orizzontale.
In questo caso la derivata prima e seconda si annullano solo e unicamente nei medesimi punti.

[LoreT314]

Si ok ma come faccio vedere che si possono accumulare da qualche parte?

[Mathita]

Penso che tu abbia ragione, LoreT314, la proposizione che ho scritto è falsa. Come controesempio puoi partire dalla funzione

\[f(x)=\begin{cases}\sin^2\left(\frac{1}{x}\right)x^2,&\mbox{se} \ x\ne 0\\ 0,&\mbox{se} \ x=0\end{cases}\]

Essa è chiaramente una funzione continua e non negativa su tutto l'asse reale, in particolare si annulla per $x=0$ e per tutti i valori per cui

$\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0\implies \frac{1}{x}=k\pi\implies x=\frac{1}{k\pi}, \ k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$

Inoltre la continuità di $f(x)$ garantisce la sua integrabilità in tutti gli intervalli del tipo $[0,t]$ per ogni $t>0$, o ancora $[t,0]$ per ogni $t<0$. Ha senso quindi definire la funzione integrale \[F(t)=\int_{0}^{t}f(x)\mbox{d}x \ \ \ \forall t\in\mathbb{R}\]
la quale è continua, derivabile e con derivata uguale a $f(t)$ in forza del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dal segno di $f(t)$ e dai valori che la annullano segue inoltre che $F(t)$ è una funzione strettamente crescente, con infiniti punti di flesso a tangenza orizzontale di ascisse $t_k=\frac{1}{k\pi}, t_0=0.$

Se indichiamo con $A=\{t\in\mathbb{R}:\ F'(t)=0\}=\{\frac{1}{k\pi},\ k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}\cup\{0\}$, si dimostra agilmente che $t_0=0$ è un punto di accumulazione per l'insieme $A$.

[Bokonon]

Giuro che non capisco. Il Prof. ha solo detto che una funzione strettamente crescente può avere anche dei punti con derivata pari a zero. E' solo un banale osservazione.
https://www.desmos.com/calculator/7idpcvhnnm
Tre funzioni strettamente crescenti.
Le funzioni esponenziale e logaritmica hanno sempre derivata positiva.
La funzione $y=x^3$ ha derivata sempre positiva eccetto nell'origine dove ha un flesso orizzontale.

Puoi immaginarti una funzione che cresce sempre e cambia concavità n volte...e avrà n punti di flesso orizzontali in cui la derivata è zero.

Secondo me stai complicando l'acqua calda

[Mathita]

@Bokonon, se ti riferisci alla mia risposta, mi scuso sin da subito: non era mia intenzione complicare le cose, bensì portare un controesempio della proposizione che ha proposto l'OP. Purtroppo non sono riuscito a trovare un'espressione esplicita (leggi:"senza tirare in ballo la funzione integrale") e questo ha compromesso la chiarezza del mio "tentativo" di spiegazione.

[Bokonon]

@Mathita
Ho postato prima di leggere il tuo bel post...non mi riferivo assolutamente a te!

Io credo che il prof abbia solo fatto presente uno degli errori che gli studenti fanno all'orale, ovvero alla domanda "una funzione strettamente crescente ha derivata sempre positiva?"
La risposta è "no ci sono funzioni strettamente crescenti che hanno punti in cui la derivata è zero".
Ciò che si può invece affermare è che non avrà mai derivata negativa (per come è definita).

L'OP è partito proponendo una funzione che non è nemmeno lontanamente strettamente crescente.
Non ho ancora capito esattamente cosa vorrebbe dimostrare e perchè.

[LoreT314]

Nono quello che dici tu mi è chiaro, semplicemente mi chiedevo:
Gli eventuali punti in cui si annulla possono accumularsi da qualche parte o sono isolati (tipo in x^3 o in qualsiasi funzione polinomiale)?
La funzione che dicevo non era quella che volevo considerare ma la sua derivata.
Non c'è esattamente un perché, è semplicemente un quesito che mi è saltato in mente