Funzione di Caratheodory

[Ferry]

Sia $E sub RR^n$ un insieme misurabile e sia $F sub RR$.
Sia $f:E->RR$ una funzione misurabile
Sia $g:ExxF->RR$ Caratheodory, cioè:
-$y |-> g(x,y)$ è continua per q.o. $x in E$ ($y in F$)
-$x |-> g(x,y)$ è misurabile $AA y in F$ ($x in E$)
Se $f(E) sub F$, dimostrare che $x |->g(x,f(x))$ è misurabile

Pensavo di dimostralo prima per le funzioni f semplici e poi estenderlo al caso delle funzioni generiche.

Sia f una funzione semplice e misurabile su E:
$f(x)=\sum_{j=1}^n c_j*(\chi)_(E_j)$ dove
-$c_j in F AA j$, $c_i!=c_j AA i!=j$
-$E_j$ è misurabile $AAj$ e sono una partizione di E
-$(\chi)_(E_j) $ è la funzione caratteristica su $E_j$

Considero $H(x)=g(x,f(x))$
Sappiamo che $H$ è misurabile $hArr H|_(E_j)$ è miurabile $AA j=1,..,n$
$AA x in E $ $EE! $ $j$ t.c $ x in E_j => H|_(E_j)(x)=g(x, c_j)$ che è misurabile per ipotesi (g Caratheodory).

Adesso il problema nasce quando voglio passare al caso generico. Mi piacerebbe utilizzare quel teorema che mi assicura l'esistenza di funzioni semplici che convergono alla mia f. Ma come faccio ad essere sicuro che i valori che assumono queste funzioni semplici siano in F, un sottoinsieme qualunque di $RR$? Avete qualche idea? Grazie mille!!

[dissonance]

Vedo che non stai avendo risposta, perché in effetti è una di quelle cose che chiunque è ben lieto di dare per scontata. Comunque credo proprio sia semplice usando direttamente la definizione, con le controimmagini

[Ancona]

Io scomporrei $f$ in $f=f^+ - f^-$, e approssimerei per funzioni semplici non negative.