risoluzione di un'equazione con numeri complessi

[sararossi07]

Ciao a tutti,
scrivo nuovamente su questo forum perchè io e i miei compagni di università abbiamo provato più volte risolvere questo numero complesso, senza successo.
Il testo é: $ (z+1)/(z-1)= ixx |z| $ e la soluzione dovrebbe essere -i.
Abbiamo cercato di risolverlo sostituendo "x+yi" a z e " $ (a^2+b^2)^(1/2) $ " a |z|, però alla fine ci torna che la parte immaginaria è 0 e la parte reale 1.
C'è qualcuno che saprebbe darmi una dritta su come risolverlo?
Grazie in anticipo

[Quinzio]

Se prendi il modulo di ambo i membri ottieni:

$ |z+1|/|z-1|= |z| $

Vi torna fin qui ?
A sinistra: modulo del rapporto uguale al rapporto dei moduli.
A destra: modulo di $|i|$ uguale 1.

Facendo due conti facili, si vede anche ad occhio che

$ |z+1|/|z-1|= 1 $

quindi anche $|z| = 1$.

Adesso rimangono da fare due conti sulla fase e lascio a voi concludere.

[gugo82]

$ |z+1|/|z-1|= 1 $?
Davvero?

Anche per $z=2$?

[sararossi07]

Ciao Quinzio, scusa ma non ho ben capito i passaggi che portano a |z|=1. Potresti spiegarmeli più dettagliatamente per favore, se non è troppo un impegno.
Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao sararossi07,

L'equazione proposta è la seguente:

$(z+1)/(z-1)= i |z| $

Comincerei con l'osservare che per l'esistenza della frazione deve essere $z \ne 1 $, per cui $z = 1 $ non può essere una soluzione per l'equazione proposta; poi che il membro di destra è un numero complesso immaginario puro, dunque tale deve essere anche il membro di sinistra, cioè deve aversi

$Re[(z + 1)/(z - 1)] = 0 $

Quindi sostituendo $ z = x + iy $ si ha:

$Re[(x + 1 + iy)/(x - 1 + iy)] = 0 $

$Re[(x^2 + y^2 - 1)/((x - 1)^2 + y^2) - (2 i y)/((x - 1)^2 + y^2)] = 0 $

$(x^2 + y^2 - 1)/((x - 1)^2 + y^2) = 0 \implies x^2 + y^2 = 1 $

A questo punto se si sostituisce questa informazione nell'equazione originaria con $z = x + iy $ si ha:

$ (x^2 + y^2 - 1)/((x - 1)^2 + y^2) - (2 i y)/((x - 1)^2 + y^2) = i sqrt{x^2 + y^2} $

$ 0 - (2 i y)/(2 - 2x) = i $

$ (i y)/(x - 1) = i \implies y = x - 1 $

Dunque da $x^2 + y^2 = 1 \implies x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1 \implies x(x - 1) = 0 $

Dato che non può essere $x = 1 $ (altrimenti sarebbe $y = 0 $ e si otterrebbe $z = 1 $ che invece come si è detto all'inizio non va bene), allora deve essere necessariamente $x = 0 \implies y = - 1 \implies z = 0 -1 \cdot i = - i $

[sararossi07]

Tutto chiaro adesso, grazie mille

[Palliit]

@pilloeffe: questo

$ ... \implies x^2 + y^2 = 1 $

equivale a: $|z|=1$; sostituito nel testo iniziale porge:$" "(z+1)/(z-1)=i$ ,$" "$da cui subito la soluzione.

[pilloeffe]

Ciao Palliit,

Ovviamente hai ragione, ma ormai mi ero imbarcato nel ragionamento con $x$ e $y $ che didatticamente parlando mi sembrava anche più valido...
Comunque grazie per l'osservazione, anche perché operando come hai suggerito sarebbe stato molto più rapido:

$ (z+1)/(z-1)= i \implies z + 1 - iz + i = 0 \implies (1 - i)z = - (1 + i) \implies z = -\frac{1 + i}{1 - i} = - i $

[Quinzio]

$ |z+1|/|z-1|= 1 $?
Davvero?

Anche per $z=2$?

Evidentemente .... NO.
Mi piaceva l'idea, tutta qua.

[pilloeffe]

Ciao Quinzio,

Mi piaceva l'idea

In realtà mi avevi quasi tratto in inganno perché l'idea non era neanche del tutto malvagia, ma al contrario: nel senso che è proprio perché

Facendo due conti facili, si vede anche ad occhio che

$|z| = 1 \implies x^2 + y^2 = 1 $ che si può scrivere

$|z+1|/|z-1| = 1 $

Quest'ultima però poi andava risolta e fornisce $x = 0 \implies y^2 = 1 \implies y_{1,2} = \pm 1 $. Per la fase poi una verifica diretta mostra che la soluzione $y_1 = 1 $ va scartata e l'unica corretta è $y_2 = - 1 $, quindi in definitiva si ha: $z = x + i y_2 = 0 + i \cdot (-1) = - i $