Concavità e convessità

[materia]

Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?

[gabriella127]

Sei sicuro che in economia si usi la convezione opposta? Può darsi, a me però non è capitato.

[tommik]

Può darsi, a me però non è capitato.

a me sì.

@materia: In Economia di cose matematiche strane ce ne sono tante...la più comune (e che da studente di ragioneria mi faceva rimbambire) è che domanda ed offerta, funzioni del prezzo, hanno la variabile indipendente (prezzo) in ordinate mentre quella dipendente (quantità) sulle ascisse.
E questo su TUTTI i testi sacri di microeconomia.

Perché? perché Alfred Marshall era un tipo singolare....

EDIT: per non parlare della Statistica

Lo stimatore di massima verosimiglianza è l'$"argsup"$ della verosimiglianza....ma siccome chi legge di Statistica non è "molto avvezzo" a cose come $"sup"$ oppure $"inf"$ allora su molti testi tale stimatore viene definito come $argmax$...

Ecco una nota in un testo di riferimento per quanto riguarda la Statistica di base

[gabriella127]

E' vero, in economia capita di trovare cose strane di matematica.

Che definiscano concava una funzione con epigrafico convesso non mi è capitato, però a voi sì.
Spero che il motivo non sia che l'economista di turno si confonde con le bacinelle... una bacinella nel linguaggio comune è concava.
Quando mi è capitato di spiegare questa cosa della convessità a qualche studente gli ho sempre detto di stare attento, perché è il contrario del linguaggio comune.

[obnoxious]

Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?

Puoi dare un riferimento? Sarei curioso di vederlo scritto (su un libro).

[gabriella127]

Eh sì Sergio, è giusto, questi sono le teste di serie dell'economia matematica.
D'altra parte è una definizione da primo anno di analisi.
Ma è possibile che qualche economista de' noantri si confonda tra bacinelle e dossi.
Guarda che è una mia cattiveria, non avendo esempi concreti, ma mi viene il sospetto.
Non è che gli economisti siano scemi o impreparati, per carità. Ma è possibile che abbiano una preparazione matematica un po' approssimativa.
Però, come dice obnoxiuos, vediamo se c'è un esempio. D'altra parte sono definizioni, se ci si mette d'accordo su una convenzione perché no.

@Tommik Eh sì, è comprensibile che per semplificare in statistica possano usare max invece di sup. Per chi ha studiato matematica suona strano, ma è pur vero che in altre facoltà il concetto di sup non lo conoscono.
E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici, ma le cose da sapere sono tante e non si può fare tutto.

[tommik]

E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici

sono diplomato come Ragioniere e perito commerciale poi laurea in Economia e Commercio (vecchio ordinamento) indirizzo Economico Quantitativo (Alma Ticinensis Universitas)

No, più cretini no però con una preparazione lacunosa in matematica sì. Quando ho fatto la tesi (di ricerca) ho passato qualche mese alla facoltà di matematica a studiare algebra e questo solo per iniziare a capire i testi di base che mi servivano.

[gabriella127]

Sì, Tommik, è proprio così, lacunosa e soprattutto confusa e carente dal punto di vista del metodo matematico, al di là dei contenuti.
Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass. Usano in modo meccanico il teorema della funzione implicita, ma non sanno dell'esistenza del teorema della funzione inversa, ne' sanno granché delle funzioni in più variabili.
Io quando ho fatto un corso di equazioni differenziali a matematica sono rimasta sbalordita da come me le avevano fatte fare a economia, volevo prendere a schiaffi qualche economista.

[materia]

Si, la cosa del max e sup nello stimatore ML l'ho incontrata quando studiavo statistica, io lì ore e ore a cercare di capire da dove sbucasse la condizione di esistenza del massimo .
Comunque la parte cruciale della mia domanda era se abbiamo fatto una definizione casuale delle due possibili interpretazioni che si potevano dare di convessità, oppure se aveva un qualche senso considerare l'epigrafo piuttosto che la regione sottostante. Ieri riflettendoci sono giunto ad una conclusione che prossimamente quando trovo un attimo posterò

[gabriella127]

Aspettiamo le tue conclusioni, materia, sono curiosa.

Secondo me sono solo convenzioni, la definizione 'ufficiale' (non quella degli economisti) guarda l'epigrafico, ed è abbastanza naturale definire convesso un insieme in cui dati due punti il segmento che li congiunge sta tutto dentro l'insieme e parapà parapà, è un insieme che non ha 'rientranze'. Ma se lo vuoi chiamare 'concavo' vabbe', de gustibus.
Non vuoi guarda' l'epigrafico, ma il sottografico? E vabbe', ce ne facciamo una ragione, basta intendersi.

Detto questo, non è che si può cambiare la convenzione a vanvera, oggi sì, domani no. Bisogna sapere qual è la convenzione 'ufficiale'.
Continuo ad aver il timore che qualche economista pensi: 'Concavo? Be', vor dì che quanno ce piove ce resta l'acqua dentro, se ciò una parabola colla capoccia sotto ce resta l'acqua dentro, se invece cià la capoccia sopra è come un montarozzo, nun ce resta l'acqua'.

(Scusate la scarsa stima matematica per gli economisti (alcuni), io sono economista e me lo posso permettere... Non è scarsa stima in generale, assolutamente, fanno un mestiere difficilissimo. E comunque scherzo, poiché conosco entrambi gli ambienti, economia e matematica)