Concavità e convessità

Messaggioda materia » 13/12/2019, 17:03

Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda gabriella127 » 13/12/2019, 19:06

Sei sicuro che in economia si usi la convezione opposta? Può darsi, a me però non è capitato.
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda tommik » 13/12/2019, 19:12

gabriella127 ha scritto: Può darsi, a me però non è capitato.


a me sì.

@materia: In Economia di cose matematiche strane ce ne sono tante...la più comune (e che da studente di ragioneria mi faceva rimbambire) è che domanda ed offerta, funzioni del prezzo, hanno la variabile indipendente (prezzo) in ordinate mentre quella dipendente (quantità) sulle ascisse.
E questo su TUTTI i testi sacri di microeconomia.

Perché? perché Alfred Marshall era un tipo singolare....

EDIT: per non parlare della Statistica

Lo stimatore di massima verosimiglianza è l'$"argsup"$ della verosimiglianza....ma siccome chi legge di Statistica non è "molto avvezzo" a cose come $"sup"$ oppure $"inf"$ allora su molti testi tale stimatore viene definito come $argmax$...

Ecco una nota in un testo di riferimento per quanto riguarda la Statistica di base

Immagine
Ultima modifica di tommik il 13/12/2019, 19:47, modificato 2 volte in totale.
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda gabriella127 » 13/12/2019, 19:39

E' vero, in economia capita di trovare cose strane di matematica.

Che definiscano concava una funzione con epigrafico convesso non mi è capitato, però a voi sì.
Spero che il motivo non sia che l'economista di turno si confonde con le bacinelle... una bacinella nel linguaggio comune è concava.
Quando mi è capitato di spiegare questa cosa della convessità a qualche studente gli ho sempre detto di stare attento, perché è il contrario del linguaggio comune.
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda obnoxious » 13/12/2019, 20:47

materia ha scritto:Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?

Puoi dare un riferimento? Sarei curioso di vederlo scritto (su un libro).
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda Sergio » 13/12/2019, 22:44

Da qualche testo di autori che non si perdono nelle bacinelle:
a) Mas-Colell, Whinston e Green, p.931: "se una funzione \(f(\cdot)\) è strettamente convessa, una retta che congiunga due punti del suo grafico è tutta sopra il grafico".
b) Varian, Analisi microeconomica, p. 507: "una funzione convessa soddisfa la proprietà \(f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)\)".
c) Romer, Advanced Macroeconomics, pp. 391-392: non dà una definizione, ma commenta due grafici di funzioni convesse, e i grafici sono... coerenti con a) e b).
d) Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth, p. 898: "$f$ è convessa se \(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\)".
e) Takayama, Mathematical Economics, p. 67: "una funzione $f$ è detta concava se [...] \(f(\theta x+(1-\theta)y)\ge \theta f(x)+(1-\theta)f(y)\) [...] è detta convessa se \(-f\) è concava".
f) Sydsaeter, Hammond, Seierstad e Strom, Further Mathematics for Economic Analysis, p. 53: "La funzione $f$ è detta concava (convessa) se è definita su un insieme convesso e il segmento che unisce due punti qualsiasi del grafico non è mai sopra (sotto) il grafico".
Sarei curioso anch'io di sapere in quali testi d'economia si trova la definizione opposta.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda gabriella127 » 13/12/2019, 23:30

Eh sì Sergio, è giusto, questi sono le teste di serie dell'economia matematica.
D'altra parte è una definizione da primo anno di analisi.
Ma è possibile che qualche economista de' noantri si confonda tra bacinelle e dossi.
Guarda che è una mia cattiveria, non avendo esempi concreti, ma mi viene il sospetto.
Non è che gli economisti siano scemi o impreparati, per carità. Ma è possibile che abbiano una preparazione matematica un po' approssimativa.
Però, come dice obnoxiuos, vediamo se c'è un esempio. D'altra parte sono definizioni, se ci si mette d'accordo su una convenzione perché no.

@Tommik Eh sì, è comprensibile che per semplificare in statistica possano usare max invece di sup. Per chi ha studiato matematica suona strano, ma è pur vero che in altre facoltà il concetto di sup non lo conoscono.
E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici, ma le cose da sapere sono tante e non si può fare tutto.
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda Sergio » 14/12/2019, 01:54

tommik ha scritto:EDIT: per non parlare della Statistica

Lo stimatore di massima verosimiglianza è l'$"argsup"$ della verosimiglianza....ma siccome chi legge di Statistica non è "molto avvezzo" a cose come $"sup"$ oppure $"inf"$ allora su molti testi tale stimatore viene definito come $argmax$...


Alla Sapienza si insegna $"argsup"$ :)
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda tommik » 14/12/2019, 08:12

gabriella127 ha scritto:E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici


sono diplomato come Ragioniere e perito commerciale poi laurea in Economia e Commercio (vecchio ordinamento) indirizzo Economico Quantitativo (Alma Ticinensis Universitas)

No, più cretini no però con una preparazione lacunosa in matematica sì. Quando ho fatto la tesi (di ricerca) ho passato qualche mese alla facoltà di matematica a studiare algebra e questo solo per iniziare a capire i testi di base che mi servivano.
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Re: Concavità e convessità

Messaggioda gabriella127 » 14/12/2019, 13:30

Sì, Tommik, è proprio così, lacunosa e soprattutto confusa e carente dal punto di vista del metodo matematico, al di là dei contenuti.
Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass. Usano in modo meccanico il teorema della funzione implicita, ma non sanno dell'esistenza del teorema della funzione inversa, ne' sanno granché delle funzioni in più variabili.
Io quando ho fatto un corso di equazioni differenziali a matematica sono rimasta sbalordita da come me le avevano fatte fare a economia, volevo prendere a schiaffi qualche economista.
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