Contaggio degli zeri di una funzione olomorfa

[3m0o]

Se \((f_n)_{n \geq 0}\) è una successione di funzioni olomorfe da \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \), con \( f_n \to f \) uniformemente, e con \(f_n,f \neq 0 \) su \( \partial \mathbb{D} \) dimostra che
\[ \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f_n) } \nu_z(f_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f) } \nu_z(f) \]
dove \( \nu_z(f) \) denota l'ordine (la molteciplita) dello zero di \(f\) in \(z\).

Questa è la mia idea, vi sembra corretta?

Abbiamo per ogni \(n \), \(f_n\) è olomorfa, pertanto abbiamo che \( f_n'/f_n \) è meromorfa. Inoltre se \(z \) è uno zero di ordine \( k \) di \(f_n \) allora \( z \) è un polo semplice con residuo \( k \) di \( \frac{f_n'}{f_n} \). Inoltre siccome su \( \partial \mathbb{D} \), abbiamo che \( f_n \neq 0 \), possiamo integrare sul cammino \( \partial \mathbb{D} \), inoltre \( \mathbb{D} \) è semplicemente connesso pertanto segue dal teorema dei residui che
\[ \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{f_n'(\xi)}{f_n(\xi)}d\xi = \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f_n) } \nu_z(f_n) \]
ho scelto l'indice di avvolgimento di \(1\) facendo un solo giro sul bordo di \( \partial \mathbb{D} \). (Posso farlo?)

Pertanto siccome \(f_n \to f \) uniformemente possiamo permutare integrale e limite e otteniamo
\[\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{f_n'(\xi)}{f_n(\xi)}d\xi = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \mathbb{D}}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f_n'(\xi)}{f_n(\xi)}d\xi = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \mathbb{D}}\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}d\xi= \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f) } \nu_z(f) \]

Dove l'ultima uguaglianza è verificata in quanto siccome la successione delle \( f_n \) converge uniformemente a \( f \) allora anche \( f \) è olomorfa e pertanto \( f'/f \) è meromorfa e abbiamo che se \( z \) è uno zero di \( f \) di ordine \(k \) allora abbiamo che \( z \) è un polo semplice di residuo \(k \) di \( f'/f \) . Inoltre come prima \( f \neq 0 \) su \(\partial \mathbb{D} \), infatti se non lo fosse avremmo che non possiamo prende come cammino \( \partial \mathbb{D} \).
Pertanto segue che
\[ \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f_n) } \nu_z(f_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum\limits_{z \in \mathbb{D} \cap \operatorname{zeri}(f) } \nu_z(f) \]

[dissonance]

Mi sembra proprio che vada bene. https://en.wikipedia.org/wiki/Argument_principle

In italiano credo si dica "conteggio", e non "contaggio", ma forse era solo un typo.