Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda 3m0o » 14/12/2019, 02:40

Trovare una funzione intera tale che \(f(z)=\omega\) ha un numero infinito di soluzioni per tutti gli \(\omega \in \mathbb{C} \), giustificare.
Questa la mia idea:
Poniamo \( f(z):=\sin(z) \), allora abbiamo che \( \sin(z)=\frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i} \)
Da cui segue che se \(z_0=x+iy\) è soluzione di \( \sin(z_0)=\omega \), per \( \omega \in \mathbb{C} \) allora soddisfa
\(e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).

E quindi anche \(z_k = x+2\pi k + i y \) è soluzione, per ogni \(k \in \mathbb{Z} \). Infatti
\(e^{i(x+2 \pi k)}e^{-y} - e^{-i(x+2 \pi k)}e^{y} =e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).
In quanto la funzione \( e^{ix}\) è \( 2\pi i \) periodica.
E siccome per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) esiste una soluzione per l'equazione \( \sin(z) = \omega \) in quanto \( \sin(z) \) è intera e non constante e dunque suriettiva per Liouville, abbiamo che per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) risulta che l'equazione \( \sin(z) = \omega \) possiede un'infinità di soluzioni.
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda jinsang » 14/12/2019, 17:04

Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda 3m0o » 14/12/2019, 17:19

jinsang ha scritto:Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)

Hai ragione sono un cretino! In ogni caso la funzione seno è suriettiva.
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda dissonance » 16/12/2019, 10:05

Su queste cose ci sono i teoremi di Picard, sono cose un po' strane, dicono che una funzione intera non suriettiva può tuttalpiù mancare un solo punto (e poi ci sono altre versioni).

Ma come fai a dire che \(\sin\) è suriettiva? Potrebbe mancare un punto. Non è una domanda retorica, vorrei davvero saperlo.
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda jinsang » 16/12/2019, 11:11

3m0o ha scritto:
jinsang ha scritto:Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)

Hai ragione sono un cretino! In ogni caso la funzione seno è suriettiva.


Ma dai, non autooffenderti :-D
Comunque anch'io, come dissonance, non trovo un modo facile per dire che $sin$ è suriettiva.
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda dissonance » 16/12/2019, 11:17

In effetti, l'unico punto che \(\sin\) potrebbe mancare potrebbe essere solo \(0\). Infatti, poniamo che \(\sin\) manchi un altro punto \(w\ne 0\), ovvero che
\[
\sin z = w \]
non ha soluzione. Siccome \(\sin(-z)=-\sin z\), pure
\[
\sin z = -w\]
non ha soluzione. E questa è una contraddizione, perché per Picard ci può essere al massimo un solo punto mancato.

(Il mio ragionamento è: ci può essere solo un punto mancato, queste sono funzioni super di base, il punto mancato non può che essere zero. Ma \(\sin\) non manca lo zero, e quindi è surgettiva).
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda jinsang » 16/12/2019, 11:23

Hai ragione, mi piace!
In realtà a me non viene mai in mente di usare il teorema di Picard perché non l'ho mai dimostrato :-D
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda dissonance » 16/12/2019, 11:30

jinsang ha scritto:il teorema di Picard perché non l'ho mai dimostrato :-D

Per quello dicevo che sono "cose strane". Per me quel teorema è una scatola nera completamente misteriosa, e non ho la minima idea del perché sia vero. Leggendo Wikipedia sono andato a sbattere sulla micidiale "funzione modulare \(\lambda\)", una cosa che piace un sacco ai ricercatori dell'università di 3m0o, ma di cui non ci capisco un tubo, purtroppo. Così ho lasciato perdere
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda 3m0o » 16/12/2019, 23:45

dissonance ha scritto:Su queste cose ci sono i teoremi di Picard, sono cose un po' strane, dicono che una funzione intera non suriettiva può tuttalpiù mancare un solo punto (e poi ci sono altre versioni).

Ma come fai a dire che \(\sin\) è suriettiva? Potrebbe mancare un punto. Non è una domanda retorica, vorrei davvero saperlo.

Perché l'ho letto su wikipedia :lol:
Ad ogni modo non abbiamo visto il teorema di Picard però credo che anche così possa funzionare
\( \sin(z) = \omega \) allora ponendo \( e^{iz} = u \) abbiamo che
\( u^2 - 2i u -1=0 \) che possiede soluzioni con \( u_{1,2} = i \omega \pm \sqrt{1-\omega} \)
Ora se \( \omega =0 \) abbiamo una soluzione per \( e^{iz}=u = 1 \) con \(z=0 \).
Se \( \omega \neq 0 \) abbiamo che \( i \omega + \sqrt{1-\omega} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Pertanto applicando il logaritmo complesso abbiamo che
\( z = -i \ln \left( i \omega + \sqrt{1-\omega}\right) \) è una soluzione. Pertanto il seno è suriettivo.
Ultima modifica di 3m0o il 16/12/2019, 23:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

Messaggioda 3m0o » 16/12/2019, 23:49

jinsang ha scritto:Ma dai, non autooffenderti :-D
Comunque anch'io, come dissonance, non trovo un modo facile per dire che $sin$ è suriettiva.

Beh dai è un errore proprio banale dire che il teorema di Liouville garantisce la suriettività, cioé non sta ne in cielo ne in terra. Come mi è saltato in mente non lo so!
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