Trovare una funzione intera tale che \(f(z)=\omega\) ha un numero infinito di soluzioni per tutti gli \(\omega \in \mathbb{C} \), giustificare.
Questa la mia idea:
Poniamo \( f(z):=\sin(z) \), allora abbiamo che \( \sin(z)=\frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i} \)
Da cui segue che se \(z_0=x+iy\) è soluzione di \( \sin(z_0)=\omega \), per \( \omega \in \mathbb{C} \) allora soddisfa
\(e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).
E quindi anche \(z_k = x+2\pi k + i y \) è soluzione, per ogni \(k \in \mathbb{Z} \). Infatti
\(e^{i(x+2 \pi k)}e^{-y} - e^{-i(x+2 \pi k)}e^{y} =e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).
In quanto la funzione \( e^{ix}\) è \( 2\pi i \) periodica.
E siccome per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) esiste una soluzione per l'equazione \( \sin(z) = \omega \) in quanto \( \sin(z) \) è intera e non constante e dunque suriettiva per Liouville, abbiamo che per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) risulta che l'equazione \( \sin(z) = \omega \) possiede un'infinità di soluzioni.