Dimostrazione che non capisco.

Messaggioda 3m0o » 14/12/2019, 03:29

Nella seguente dimostrazione ci sono alcuni passaggi che non capisco

Dimostra che
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} = \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \]

Poniamo \[ f(z) : = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} \] e
\[ g(z) := \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \]

dimostriamo che \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \) e in seguito che \( f = g \).
La serie che definisce \( f \) converge uniformemente in tutte le bande \( [a,b] \times i \mathbb{R} \). Infatti
Abbiamo che
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)} \frac{1}{(z-n)^2} \]
è uniformemente convergente su \( [a,b] \times i \mathbb{R} \) siccome per tutti gli \( n \in \mathbb{Z} \cap (b, \infty) \) abbiamo che
\[ \frac{1}{\left| z-n \right|^2} \leq \frac{1}{\left| b-n \right|^2} \]
e
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (b,\infty)} \frac{1}{(b-n)^2} \leq \infty \]
In modo analogo abbiamo che
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap (-\infty,a)} \frac{1}{(z-n)^2} \]
è uniformemente convergente su \( [a,b] \times i \mathbb{R} \).
Pertanto siccome la somma \( \sum\limits_{n \in \mathbb{Z} \cap [a,b]} \) contiene un numero finito di termini abbiamo che \( f \) converge unformemente in tutte le bande.
Pertanto \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \).

- Le funzioni \( f, g \) sono chiaramente \( 1 \)-periodiche. Dunque è sufficiente dimostrare che hanno lo stesso polo in \( 0 \).
Domanda 1: perché sono 1-periodiche?
Domanda 2: perché se sono 1-periodiche è sufficiente dimostrare che hanno lo stesso polo in 0?

Facendo lo sviluppo di Taylor di \( g \) in \(0 \) otteniamo
\[ \frac{1}{z^2} + \frac{\pi^2}{3} + O(z^2) \]
vediamo dunque che \( g \) ha lo stesso polo (ordine 2, coefficiente dominante 1, e residuo 0) di \(f \) in \(0 \).

Domanda 3: Come fa a trovare il coefficiente dominante e il residuo di \(f \) in \( 0 \)?
Okay in \(z=0 \) abbiamo un polo di ordine 2, siccome con \( n=0 \) la funzione esplode.
Presumo stia facendo questo
\[ f(z)=\frac{1}{z^2} + 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-n)^2} \]
Sarebbe lo sviluppo di Laurent in un anello centrato in \( 0 \) ? Se sì abbiamo che effettivamente il residuo è zero e il coefficiente dominante è 1.
E se valutiamo la parte di destra in \(z=0 \) otteniamo effettivamente
\[ \frac{1}{z^2} +\frac{\pi^2}{3} \]
Ma non capisco come mai quello è lo sviluppo di Laurent.


Dimostriamo che \(f,g \to 0 \) quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \).
Per \( f \) abbiamo che
\[ \left| \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} \right| \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}\frac{1}{\left| z-n \right|^2} \xrightarrow{\left| \Im(z) \right| \to \infty}[] 0 \]
Si dimostra facilmente utilizzando
\[ \frac{1}{\left| z-n \right|^2}= \frac{1}{\Im^2(z) + (\Re(z)-n)^2} \]

Per \( g \) abbiamo che \( \left| \sin^2(z) \right| = \sin^2(\Re(z)) + \sinh^2(\Im(z)) \to \infty \), quando \( \left| \Im(z) \right| \to \infty \).

Abbiamo dunque che \( f-g \) si prolunga in una funzione intera che è limitata e costante e siccome \( f- g \to 0 \) quando \( \Im(z) \to \infty \) abbiamo che \(f = g \).

Domanda 4:
Allora abbiamo che \( f- g \) è olomorfa in un intorno di zero, quindi si prolunga ad una funzione intera, ma come fa a dire che è limitata?

Domanda 5: Perché \( f- g \to 0 \) quando \( \Im(z) \to \infty \) abbiamo che \(f = g \)?
- Okay siccome è costante per Liouville (intera e limitata) allora se trova un punto in cui la funzione è zero allora la funzione è identicamente nulla. Può farlo con un limite? Non dovrebbe trovare un punto preciso in cui la funzione si annulla?
-Inoltre sta facendo un prolungamento analitico su \( \mathbb{C} \) di \( f- g \) che potrebbe avere un espressione totalmente differente dalla \( f \) e dalla \( g \) iniziale nell'intorno di zero? Pertanto come può concludere che \(f=g \) ?
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Re: Dimostrazione che non capisco.

Messaggioda Quinzio » 14/12/2019, 17:30

Domanda 1:
il $sin^2(\pi z)$ e' periodica, e' ovvio, mentre per l'altra puoi sommare $1$ a $z$ e rimane uguale.

$\sum_{n \in \ZZ} 1/((z+1)-n) = \sum_{n \in \ZZ} 1/(z-(n-1)) = \sum_{n' \in \ZZ} 1/(z-n') = \sum_{n \in
\ZZ} 1/(z-n)$
con $n' = n-1$
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Re: Dimostrazione che non capisco.

Messaggioda 3m0o » 14/12/2019, 17:35

Quinzio ha scritto:Domanda 1:
il $sin^2(\pi z)$ e' periodica, e' ovvio, mentre per l'altra puoi sommare $1$ a $z$ e rimane uguale.

$\sum_{n \in \ZZ} 1/((z+1)-n) = \sum_{n \in \ZZ} 1/(z-(n-1)) = \sum_{n' \in \ZZ} 1/(z-n') = \sum_{n \in
\ZZ} 1/(z-n)$
con $n' = n-1$

Si il seno è ovvio intendevo l'altra, hai ragione quando \( n \) percorre \( \mathbb{Z} \) allora \(n' \) percorre \( \mathbb{Z} \).
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Re: Dimostrazione che non capisco.

Messaggioda 3m0o » 15/12/2019, 14:33

3m0o ha scritto:Domanda 4:
Allora abbiamo che \( f- g \) è olomorfa in un intorno di zero, quindi si prolunga ad una funzione intera, ma come fa a dire che è limitata?

Forse perché siccome sia \(f\) e \(g \) vanno a zero in ogni direzione (tranne sull'asse reale) quando la parte inmmaginaria di \(z \) va a infinito, pertanto è limitata in ogni direzione immaginaria. Inoltre siccome i poli sono solo sull'asse reale e li conosciamo tutti (siccome sono funzioni periodiche). Dunque avendo lo stesso polo in zero hanno lo stesso polo per ogni \(n \in \mathbb{Z} \), inoltre avendo lo stesso periodo anche \(f-g \) è periodica con periodo \(1 \) e non avendo singolarità dev'essere limitata anche sull'asse reale.
Pertanto è limitata?

3m0o ha scritto:Domanda 5: Perché \( f- g \to 0 \) quando \( \Im(z) \to \infty \) abbiamo che \(f = g \)?
- Okay siccome è costante per Liouville (intera e limitata) allora se trova un punto in cui la funzione è zero allora la funzione è identicamente nulla. Può farlo con un limite? Non dovrebbe trovare un punto preciso in cui la funzione si annulla?
-Inoltre sta facendo un prolungamento analitico su \( \mathbb{C} \) di \( f- g \) che potrebbe avere un espressione totalmente differente dalla \( f \) e dalla \( g \) iniziale nell'intorno di zero? Pertanto come può concludere che \(f=g \) ?

Forse
Il prolungamento di \(f -g =0\) su \( \mathbb{C} \), ovvero \(f=g \) su \( \mathbb{C} \), dove con \(f \) e \(g \) intendo il prolungamento analitico di \(f \) e rispettivamente di \(g \) su \( \mathbb{C} \), e siccome su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \) abbiamo che il prolungamento di \(f \), e rispettivamente di \(g \), coincidono con le espressioni \( \sum_{n \in \mathbb{Z} } \frac{1}{(z-n)^2} \) e \( \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z) } \) abbiamo che su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \)
\[ \sum_{n \in \mathbb{Z} } \frac{1}{(z-n)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z) } \]
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