Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda Aletzunny » 13/12/2019, 23:08

Salve a tutti!
Ho cercato su Wikipedia e altri siti ma ho capito ben poco!

Nella teoria dei gruppi cosa si intende con PERMUTAZIONE o cosa si intende per TRASPOSIZIONE?

Usando l'esempio fatto a lezione(che non ho capito!) perché dato il ciclo

$(3567)$ questo si può esprimere come $(35)(36)(37)$ ?

Come si "interpretano" i "numeri" tra ogni parentesi?

Grazie
Aletzunny
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda Reyzet » 14/12/2019, 09:23

Non sono assolutamente un esperto di queste cose, comunque dato $X={1,2,...,n}$ con n naturale una permutazione su questo insieme è una qualunque funzione biettiva su X. Ogni permutazione si può indicare in una forma tabellare che evidenzia come vengono "spostati" gli elementi.
Un ciclo è invece una particolare permutazione del tipo $(a_{1}....a_{n})$, che agisce su un elemento dell'insieme come l'identità (lo "fissa") se non figura dentro le parentesi e lo "sposta" a quello che viene dopo se vi figura (con la regola che l'ultimo viene mappato nel primo).
Per esempio $(3567)$ manda 3 in 5 e 7 in 3, ma lascia fissi 1 2 e 4.
Poi un ciclo di lunghezza 2 (del tipo $(ij)=(ji)$ è detto trasposizione e si verifica che ogni ciclo è prodotto (nel senso di composizioni tra funzioni) di trasposizioni (non disgiunte a priori), in modo non unico.
Per esempio si ha $(a_{1}...a_{k})=(a_{1} a_{k})(a_{1}a_{k-1})....(a_{1}a_{2})=(a_{1}a_{2})(a_{2}a_{3})...(a_{k-1}a_{k})$.
Si verificano facilmente queste.
Nel tuo caso si è usata la prima forma, anche se sono invertite (qui dipende dalla convenzione con cui si scrivono i prodotti, potrebbe essere anche che si opera da sx verso dx) sarebbe $(3567)=(37)(36)(35)$ (o eventualmente $=(35)(56)(67)$)
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda vict85 » 14/12/2019, 10:20

Che cosa studi? Una permutazione di \(S_n\) è una funzione biiettiva dell'insieme \([n] = \{1, 2, \dotsc, n\}\).

Esistono vari modi per scrivere una permutazione, il più comprensibile è quello in tabella:
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \] dove la prima riga contiene i numeri da \(1\) a \(n\) e la seconda le loro immagini.

Un ciclo è una permutazione in cui ogni elemento di \([n]\) non fissato può essere raggiunto a partire da un singolo elemento e applicando più volte la stessa permutazione. In altre parole, il \(4\)-ciclo \((2531)\) di \(S_7\) e la permutazione \[ (2531) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 & 7 \end{pmatrix} \]
È utile osservare che \((2531) = (5312) = (3125) = (1253)\).

Una trasposizione è un \(2\)-ciclo, ovvero una parmutazione che si limita a scambiare tra di loro due elementi. \((12)\) manda \(1\) in \(2\) e \(2\) in \(1\) e manda gli altri in loro stessi. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di scambi (non disgiunti) in molti modi. La parità di questa "scomposizione" (ovvero se il numero di scambi è pari o dispari) è invariante però e determina la parità della permutazione stessa.

Nota che una permutazione su un insieme finito, è sempre scomponibile in modo unico in cicli disgiunti (ovvero che non muovono gli stessi elementi). Questa è la ragione perché la notazione in cicli è molto usata.

Nota che il tuo professore compone le permutazioni da sinistra a destra, mentre molti manuali e professori1 li compongono da destra a sinistra come la composizione funzionale. Questo è importante perché, se componi da destra a sinistra \((35)(36)(37) = (35)(376) = (3765)\) mentre se li componi da sinistra a destra diventa \((35)(36)(37) = (356)(37) = (3567)\) (ho fatto il passaggio intermedio per rendere più evidente l'ordine delle composizioni, quando ci prendi la mano fai il prodotto tutto in una volta).

Note

  1. E penso anche wikipedia.
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda Aletzunny » 14/12/2019, 10:54

Grazie! Sto iniziando ad avere la situazione un po' più chiara!

Faccio il primo anno di matematica
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda vict85 » 14/12/2019, 19:47

Che manuale usi? Studi sugli appunti del docente?
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda Aletzunny » 14/12/2019, 20:44

Purtroppo come manuale ci hanno consigliato Classic Algebra ma è un po' difficile da comprendere per via dell'inglese e soprattutto per via del fatto che segue un "percorso" diverso da quello del docente...
Quindi spesso mi limito solo agli appunti ma non sono come un libro!
Avresti qualche manuale migliore da consigliare?
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Re: Permutazioni e trasposizioni

Messaggioda vict85 » 15/12/2019, 20:19

Quello di Cohn? Devo dire che non ce l'ho presente, ma studiare matematica in inglese non è mai stato un problema per me. Penso sinceramente che questi argomenti vengano presentati un po' in ogni libro. Come alternative, in Italiano, mi vengono in mente Algebra di Herstein oppure il Piacentini Cattaneo (il secondo non mi piace molto, ma è più semplice e potrebbe essere un migliore scelta come primo libro, dipende un po' da persona a persona). Conosco poco i manuali di algebra in italiano: io avevo studiato su libri e dispense in inglese.
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