(Elettrostatica) Sfera-carica metodo immagini

Messaggioda ValeForce » 14/12/2019, 16:34

Salve a tutti!
Sto avendo un problema sulla tipica applicazione del metodo delle immagini in cui si ha una sfera di raggio $R$ (il caso con $V=0$ sulla superficie) ed una carica $q$ puntiforme posta a distanza $a$ dal centro della sfera. Il potenziale che ricavo in coordinate polari, e mi è confermato dal libro, è:
$$V(r,\theta)=kq\left(\frac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2\,r\,a\,\cos\theta}}-\frac{R}{a}\frac{1}{\sqrt{r^2+\frac{R^4}{a^2}-2\,r\,\frac{R^2}{a}\,\cos\theta}}\right)$$
Adesso al solito mi aspetto che il campo sulla superficie, poiché essa è equipotenziale, sia radiale.
Ma in generale il campo ha questa forma:
$$\vec{E}=-\vec{\nabla}{V}=-\left(\frac{\partial{V}}{\partial{r}}\hat{r} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial{V}}{\partial{\theta}}\hat{\theta} \right)$$
E a questo punto, siccome il campo il prossimità della superficie della sfera è radiale, mi DOVREBBE risultare
$$\lim\limits_{r \to R^+} \frac{1}{r}\,\frac{\partial{V}}{\partial{\theta}} = 0$$
Ma questo non succede... infatti,
$$\frac{\partial{V}}{\partial{\theta}}=kq\left( \frac{-r\,a\sin{\theta}}{(r^2+a^2-2\,r\,a\,\cos{\theta})^{3/2}}+\frac{r\,R^3\,\sin{\theta}}{a^2(r^2+\frac{R^4}{a^2}-2\,\frac{r\,R^2}{a}\cos{\theta})^{3/2}}\right)$$
moltiplicando per $\frac{1}{r}$e facendo il limite per $r \to R^+$ non mi pare faccia zero.... Cosa sto sbagliando?
[Edit: avevo inserito un simbolo sbagliato]
"Se dovessi andare in Paradiso una delle cose che porterei con me è il teorema di esistenza degli zeri. L'altra un fumetto di Topolino." -Cit.
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Re: (Elettrostatica) Sfera-carica metodo immagini

Messaggioda Brufus » 14/12/2019, 17:31

Il conto è giusto e viene zero.fai il minimo comune multiplo.
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Re: (Elettrostatica) Sfera-carica metodo immagini

Messaggioda ValeForce » 14/12/2019, 17:41

Uff... Ho sbagliato nel fare la "verifica" quindi...
Grazie per la risposta e soprattutto per la pazienza! :)
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