Che cosa studi? Una permutazione di \(S_n\) è una funzione biiettiva dell'insieme \([n] = \{1, 2, \dotsc, n\}\).
Esistono vari modi per scrivere una permutazione, il più comprensibile è quello in tabella:
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \] dove la prima riga contiene i numeri da \(1\) a \(n\) e la seconda le loro immagini.
Un ciclo è una permutazione in cui ogni elemento di \([n]\) non fissato può essere raggiunto a partire da un singolo elemento e applicando più volte la stessa permutazione. In altre parole, il \(4\)-ciclo \((2531)\) di \(S_7\) e la permutazione \[ (2531) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 & 7 \end{pmatrix} \]
È utile osservare che \((2531) = (5312) = (3125) = (1253)\).
Una trasposizione è un \(2\)-ciclo, ovvero una parmutazione che si limita a scambiare tra di loro due elementi. \((12)\) manda \(1\) in \(2\) e \(2\) in \(1\) e manda gli altri in loro stessi. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di scambi (non disgiunti) in molti modi. La parità di questa "scomposizione" (ovvero se il numero di scambi è pari o dispari) è invariante però e determina la parità della permutazione stessa.
Nota che una permutazione su un insieme finito, è sempre scomponibile in modo
unico in cicli disgiunti (ovvero che non muovono gli stessi elementi). Questa è la ragione perché la notazione in cicli è molto usata.
Nota che il tuo professore compone le permutazioni da sinistra a destra, mentre molti manuali e professori
1 li compongono da destra a sinistra come la composizione funzionale. Questo è importante perché, se componi da destra a sinistra \((35)(36)(37) = (35)(376) = (3765)\) mentre se li componi da sinistra a destra diventa \((35)(36)(37) = (356)(37) = (3567)\) (ho fatto il passaggio intermedio per rendere più evidente l'ordine delle composizioni, quando ci prendi la mano fai il prodotto tutto in una volta).