Cesenatico 2019 - prob. 2

Messaggioda Quinzio » 14/12/2019, 21:52

Siano $p$, $q$ numeri primi. Dimostrare che, se $p + q^2$ e' un quadrato perfetto, allora il numero $p^2 + q^n$ non e' un quadrato perfetto per nessun intero positivo $n$.

Domanda:
se $p + q^2 = k^2$
allora $p = k^2 - q^2 = (k+q)(k-q)$.
Ma allora $p$ non e' primo.
Quindi come va interpretato il problema ? Ho perso di vista qualcosa ?
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Re: Cesenatico 2019 - prob. 2

Messaggioda axpgn » 14/12/2019, 22:07

$5+2^2=3^2\ ->\ 5=(3+2)(3-2)$
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Re: Cesenatico 2019 - prob. 2

Messaggioda Quinzio » 14/12/2019, 23:53

Ok, grazie axpgn.

Quindi $p = 2q+1$

e

$p^2+q^n = q^n + 4q^2 + 4q +1 = (k+1)^2$

ovvero

$q (q^{n-1} + 4q + 4) = k(k+2)$

Ma cio' non e' possibile perche' e' palesemente falso che $q^{n-1} + 4q + 4 = q+2$.

Oppure $q^{n-1} + 4q + 4$ dovrebbe essere fattorizzabile come $(m+1)mq$, in modo da avere due numeri $(m+1)q$ e $mq$ che differiscono tra di loro di 2.

Ma anche in questo caso, a parte i numeri primi piu' piccoli, e' falso.

E' questa la dimostrazione ? :roll:
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