Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda Silence » 15/12/2019, 01:42

Perdonate la banalità della domanda, ma ho qui un dubbio di conti, non riesco a capire la "tecnica" che viene usata per calcolare i residui di funzioni a singolarità periodiche con $k!=0$. Allego due esempi:

per $1/(zsinz)$ ho

Immagine

e per $e^(alphaz)/(1+e^z)$ ho

Immagine

Il concetto mi è chiaro, in entrambi i casi si calcolano i residui di poli semplici. Quel che non capisco è come mai i denominatori "sboccino" in quella sottrazione, e come da lì si passi poi alla penultima espressione.

Grazie
Silence
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Re: Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda Quinzio » 15/12/2019, 09:06

Nel penultimo passaggio applica la definizione di derivata

$\lim_{h \to 0} (f(x+h)-f(x))/(h)$

Ed arriva a quella derivata applicando de l'Hopital.

Per capire meglio cosa fa leggi qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_(complex_analysis)#Simple_poles

paragrafo Simple_poles
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Re: Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda pilloeffe » 15/12/2019, 11:08

Ciao Silence,

Sono stati saltati alcuni passaggi, ma alla fine il calcolo è corretto.
Cominciamo dal primo esempio, $f(z) = 1/(z sin z) $ in $z_k = k\pi \implies sin z_k = 0 $:

$\lim_{z \to z_k} f(z) (z - z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k) /(z (sin z - sin z_k)) = \lim_{z \to z_k} 1/(z \frac{sin z - sin z_k}{z - z_k}) = \lim_{z \to z_k} 1/z \cdot 1/(\lim_{z \to z_k} frac{sin z - sin z_k}{z - z_k}) =$
$ = 1/z_k \cdot 1/([d/(dz) sin z]_{z = z_k}) = 1/z_k \cdot 1/(cos z_k) = 1/(k\pi) \cdot 1/(cos (k\pi)) = 1/(k\pi) \cdot 1/((-1)^k) = 1/(k\pi) \cdot (-1)^k/((-1)^{2k}) = (-1)^k/(k\pi) $

Per il secondo esempio si procede in modo analogo con $f(z) = e^(\alpha z)/(1+e^z) $ e $e^{z_k} = - 1 $, per cui si ha:

$\lim_{z \to z_k} f(z) (z - z_k) = \lim_{z \to z_k} e^(\alpha z)/(e^z + 1) (z - z_k) = \lim_{z \to z_k} e^(\alpha z)/(e^z - (- 1)) (z - z_k) = $
$ = \lim_{z \to z_k} e^(\alpha z)/(e^z - e^{z_k}) (z - z_k) = \lim_{z \to z_k} e^{\alpha z}/(\frac{e^z - e^{z_k}}{z - z_k}) = \lim_{z \to z_k} e^{\alpha z} \cdot 1/(\lim_{z \to z_k} \frac{e^z - e^{z_k}}{z - z_k}) = $
$ = e^{\alpha z_k}/([d/(dz) e^z]_{z = z_k}) = e^{\alpha z_k}/e^{z_k} = e^{\alpha z_k}/(-1) = - e^{\alpha z_k}$
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Re: Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda gugo82 » 15/12/2019, 12:22

Dico un’ovvietà, ma la formula $text(Res)((N(z))/(D(z)); z_0) = (N(z_0))/(D^\prime (z_0))$ è valida in casi mooolto particolari (quali?) e perciò si deve usare con mooolta cautela.
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Re: Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda Silence » 15/12/2019, 17:03

Devo davvero ringraziarvi tanto, tutti e tre. Ah, quanto mi piacerebbe che queste strategie venissero spiegate, anziché usate con nonchalance in qualche esercizio a caso... dunque, vediamo se ho capito, tento con un altro esempio.

Innanzitutto, per quel che mi pare di intendere, la formula $Res((N(z))/(D(z)),z_0)=(N(z_0))/(D'(z_0))$ si può usare solo se N e D sono funzioni olomorfe in un intorno di $z_0$, e inoltre $D'(z_0)!=0$, oltre che avere primitiva con singolarità periodiche. Sicuramente manca qualcosa, ma non saprei dire.

Poi, mettiamo di voler studiare: $f(z)=z/(sin(1/(z+1)))$

Ho che le singolarità sono della forma $1/(z+1)=kpi, k=0,1,2... -> z_k=(1-kpi)/(kpi)$, tutti poli semplici.

Quindi: $lim_(z->z_k)f(z)(z-z_k)=(z(z-z_k))/(sin(1/(z+1)))=z/((sin(1/(z+1)))/(z-z_k))$

a questo punto, siccome $sin(1/(z_k+1))=0$ posso sottrarlo a $sin(1/(z+1))$ per ottenere così la forma riconducibile al rapporto incrementale. Pertanto:

$lim_(z->z_k)f(z)(z-z_k)=lim_(z->z_k)z/( ( sin(1/(z+1))-sin(1/(z_k+1)) ) /(z-z_k) )=z_k/[(d/(dz)sin(1/(z+1)))_(z=z_k))=z_k/(-1/((z_k+1)^2)cos(1/(z_k+1)))=(-1)^(k+1)z_k(z_k+1)^2=(-1)^(k+1)(1-kpi)/(kpi)((1-kpi)/(kpi)+1)^2=(-1)^(k+1)(1-kpi)/(k^3pi^3)$

Di questa non ho il risultato quindi non posso confermare che sia giusto. Speriamo. In ogni caso, ancora grazie infinite a tutti e tre!
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Re: Conti nel calcolo dei residui

Messaggioda dissonance » 16/12/2019, 11:34

Più o meno sta usando la regola di l'Hôpital, in modo da derivare il denominatore, ma senza usare il teorema, sta facendo direttamente. Io sono d'accordo con Gugo e credo che sarebbe meglio scrivere lo sviluppo in serie di Laurent, così uno non deve neanche sforzarsi di ricordare le condizioni per applicare queste formule.
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