da Silence » 15/12/2019, 17:03
Devo davvero ringraziarvi tanto, tutti e tre. Ah, quanto mi piacerebbe che queste strategie venissero spiegate, anziché usate con nonchalance in qualche esercizio a caso... dunque, vediamo se ho capito, tento con un altro esempio.
Innanzitutto, per quel che mi pare di intendere, la formula $Res((N(z))/(D(z)),z_0)=(N(z_0))/(D'(z_0))$ si può usare solo se N e D sono funzioni olomorfe in un intorno di $z_0$, e inoltre $D'(z_0)!=0$, oltre che avere primitiva con singolarità periodiche. Sicuramente manca qualcosa, ma non saprei dire.
Poi, mettiamo di voler studiare: $f(z)=z/(sin(1/(z+1)))$
Ho che le singolarità sono della forma $1/(z+1)=kpi, k=0,1,2... -> z_k=(1-kpi)/(kpi)$, tutti poli semplici.
Quindi: $lim_(z->z_k)f(z)(z-z_k)=(z(z-z_k))/(sin(1/(z+1)))=z/((sin(1/(z+1)))/(z-z_k))$
a questo punto, siccome $sin(1/(z_k+1))=0$ posso sottrarlo a $sin(1/(z+1))$ per ottenere così la forma riconducibile al rapporto incrementale. Pertanto:
$lim_(z->z_k)f(z)(z-z_k)=lim_(z->z_k)z/( ( sin(1/(z+1))-sin(1/(z_k+1)) ) /(z-z_k) )=z_k/[(d/(dz)sin(1/(z+1)))_(z=z_k))=z_k/(-1/((z_k+1)^2)cos(1/(z_k+1)))=(-1)^(k+1)z_k(z_k+1)^2=(-1)^(k+1)(1-kpi)/(kpi)((1-kpi)/(kpi)+1)^2=(-1)^(k+1)(1-kpi)/(k^3pi^3)$
Di questa non ho il risultato quindi non posso confermare che sia giusto. Speriamo. In ogni caso, ancora grazie infinite a tutti e tre!