Integrale triplo tetraedro

[victorr]

Da calcolare è l'integrale triplo di x su T, dove T è il tetraedro delimitato dai piani x=1, y=1, z=1 e x+y+z=2.
All'integrale più esterno ho assegnato intervallo 0</=x</=1. Al secondo 0</=y</=1-x. E poi ho posto che quello più interno varia da z=1 a z=2-x-y. Il risultato dovrebbe venire 1/8, ma non mi torna. Non capisco cosa sbaglio.
Ovviamente mi basta capire cosa sto sbagliando nell'impostazione, il calcolo poi lo faccio da solo.
Grazie

[Leonardo97]

Prova a ragionare su quale potrebbe essere la forma del solido $T$.
Le condizioni sono:
\[0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1, \quad 0 \le z \le 1, \quad 0 \le z \le 2-x-y\]
Ovviamente $0 \le 2-x-y$ se $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$.
Inoltre:
\[2-x-y \ge 1 \Longrightarrow 0 \le y \le 1-x\]
mentre:
\[2-x-y \le 1 \Longrightarrow 1 \ge y \ge 1-x\]

In definitiva le condizioni che delimitano $T$ sono:
\[0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1-x, \quad 0 \le z \le 1\]
e
\[0 \le x \le 1, \quad 1-x \le y \le 1, \quad 0 \le z \le 2-x-y\]
Ora non ti resta che calcolare i due integrali tripli che ne derivano. Provaci e fammi sapere.

Post Scriptum:
Ho fatto i conti e viene $\frac{9}{24} \ne \frac{1}{8}$, mentre se invece considero le condizioni complementari a quelle che ho scritto, cioè:
\[0 \le x \le 1, \quad 1-x \le y \le 1, \quad 2-x-y \le z \le 1\]
allora ottengo giustamente $\frac{1}{8}$.
Il punto è che devi considerare il tetraedro, e non il solido complementare ad esso nel cubo $[0,1]^3$ .

[victorr]

Prova a ragionare su quale potrebbe essere la forma del solido $T$.
Le condizioni sono:
\[0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1, \quad 0 \le z \le 1, \quad 0 \le z \le 2-x-y\]
Ovviamente $0 \le 2-x-y$ se $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$.
Inoltre:
\[2-x-y \ge 1 \Longrightarrow 0 \le y \le 1-x\]
mentre:
\[2-x-y \le 1 \Longrightarrow 1 \ge y \ge 1-x\]

In definitiva le condizioni che delimitano $T$ sono:
\[0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1-x, \quad 0 \le z \le 1\]
e
\[0 \le x \le 1, \quad 1-x \le y \le 1, \quad 0 \le z \le 2-x-y\]
Ora non ti resta che calcolare i due integrali tripli che ne derivano. Provaci e fammi sapere.

Post Scriptum:
Ho fatto i conti e viene $\frac{9}{24} \ne \frac{1}{8}$, mentre se invece considero le condizioni complementari a quelle che ho scritto, cioè:
\[0 \le x \le 1, \quad 1-x \le y \le 1, \quad 2-x-y \le z \le 1\]
allora ottengo giustamente $\frac{1}{8}$.
Il punto è che devi considerare il tetraedro, e non il solido complementare ad esso nel cubo $[0,1]^3$ .

Ciao grazie per la risposta, però ho ancora dei dubbi. Io avevo considerato come T il tetraedro di vertici (0,0,1) (0,1,1) (1,0,1) (0,0,2). Di conseguenza la base (proiettata a z=0) aveva cateti coincidenti con gli assi y ed x e ipotenusa coincidente con la retta y=1-x. Io non capisco se tu abbia considerato un'altra regione a questo punto. Se potessi spiegarmi meglio te ne sarei grato
Edit: se capisco bene tu alla fine intendi T avente vertici (1,1,0) (1,0,1) (0,1, 1) (1,1,1) con gli ultimi tre che vanno a formare la base triangolare che giace sul piano z=1

[Quinzio]

victor, il tetraedro ha vertici
a: (0,1,1)
b: (1,0,1)
c: (1,1,0)
d: (1,1,1)

La faccia superiore ha vertici b, c, d.

[victorr]

victor, il tetraedro ha vertici
a: (0,1,1)
b: (1,0,1)
c: (1,1,0)
d: (1,1,1)

La faccia superiore ha vertici b, c, d.

Guarda proprio ora ho editato la fine del post precedente. Grazie, mio dio proprio non lo vedevo c'ho perso 10 anni di vita come minimo di sicuro non me lo scordo quest'esercizio.

[Leonardo97]

Scusa il ritardo.
Si il tetraedro è quello di vertici $A=(1,1,0)$, $B=(1,0,1)$, $C=(0,1,1)$ e $D=(1,1,1)$, con $B$, $C$ e $D$ che vanno a delimitare la sua base giacente sul piano $z=1$ appunto.