Esercizio di Algebra lineare: trovare una base di Ker e di Im dell'applicazione lineare.

[sulp10]

Buon pomeriggio, mi sono imbattuto un un esercizio di Algebra che non riesco a risolvere, vi riposto il testo:

v1 := (0, 0, 2, −1), v2 := (−1, 1, 2, 1), v3 := (0, 1, 0, 2), v4 := (0, 0, 0, 1).

(1) Verificare che (v1, v2, v3, v4) è base di R^4

(2) Esiste unico f appartenente a end(R^4) tale che
f(v1) = f(v2) = v1 − v3, f(v3) = v1, f(v4) = 0.
Calcolare M(f).

(3) Trovare basi di ker(f) e di im(f).

La parte che mi è rimasta difficile da capire riguarda il punto (3) , in particolare la risoluzione del libro scrive questo :

Per verificare che B := (v1, v2, v3, v4) `e base di R^4
è sufficiente dimostrare che i quattro vettori v1, v2, v3, v4 sono linearmente indipendenti. A tale
scopo basta verificare che il determinante della matrice qui sotto
−1 1 2 1
0 1 0 2
0 0 2 −1
0 0 0 1

È = 4

Risulta che
e1 = −v1 + v2 − v3, e2 = v3 − 2v4, e3 = v1/2 + v4/2, e4 = v4,
perciò
f(e1) = f(−v1 + v2 − v3) = f(v3) = v1 = (0, 0, 2, −1),
f(e2) = f(v3 − 2v4) = f(v3) = v1 = (0, 0, 2, −1),
f(e3) = f(v1/2 + v4/2) = f(v1)/2 = v1/2 − v3/2 = (0, −1/2, 1, −3/2),
f(e4) = f(v4) = 0.

PRIMO PROBLEMA SORGE PROPRIO NEL CALCOLO DI f(e1), f(e2),f(e3), f(e4)
SAPRESTE MOSTRARMI TUTTI I PROCEDIMENTI CHE SERVONO PER CALCOLARLI?


L' esercizio poi prosegue così:
Per determinare una base di ker(f) basta allora trovare vettori w1, w2 ∈ R
^4
linearmente indipendenti e tali
che:
f(v) = 0. Poichè f(v1) = f(v2) ed f(v4) = 0 segue che basta scegliere
w1 := v1 − v2 = (1, −1, 0, −2), w2 := v4 = (0, 0, 0, 1). Concludiamo che
B :=
((1, −1, 0, −2),(0, 0, 0, 1)) è base di ker(f).

Infine per trovare una base di im(f) è sufficiente estrarre una base dall’insieme
{(0, 0, 2, −1),(0, 0, 2, −1),(0, −1/2, 1, −3/2),(0, 0, 0, 0)}. Quindi una base di im(f)
è, per esempio, C := ((0, 0, 2, −1),(0, −1/2, 1, −3/2)).

[Bokonon]

Il determinante della matrice è -2. Dato che è una matrice triangolare superiore, basta moltiplicare gli elementi sulla diagonale.
Inoltre $e_1=v_1-v_2+v_3$

$v_1=2e_3-e_4$
$v_2=-e_1+e_2+2e_3+e_4$
$v_3=e_2+2e_4$
$v_4=e_4$
Risolvi il sistema e ricava i vettori della base canonica in funzione dei vettori della base v.

[sulp10]

Grazie della risposta, tuttavia non riesco a capire come si fa a trovare una base dell'immagine di f ( ovvero il 3 punto dell'esercizio) , in particolare non capisco come ad arrivare a dire che
f(e1)=f(-v1+v2-v3)=f(v3) , lo stesso anche per f(e2),f(e3),f(e4). Quale procedimento usa il libro per arrivare a dire che f(e1)= (0,0,2,-1) e anche gli altri f(e2),f(e3),f(e4)? Sareste in grado di spiegarmelo passo passo. Grazie mille

[Bokonon]

Ti ho scritto il sistema risolvere.
Ti ho anche fatto notare (e puoi facilmente verificarlo facendo i conti) che $e_1=v_1-v_2+v_3$

Prima risolvi il sistema...poi il resto

[sulp10]

Si l'ho risolto e ottengo e1= (1,0,0,0) , poichè v1=(002-1), v2=(-1121), v3=(0102)
Allora v1-v2= (002-1)-(-1121)= (1-10-2) +v3 = (1000) . Come faccio ora a calcolare f(e1) ? Grazie