Buon pomeriggio, mi sono imbattuto un un esercizio di Algebra che non riesco a risolvere, vi riposto il testo:
v1 := (0, 0, 2, −1), v2 := (−1, 1, 2, 1), v3 := (0, 1, 0, 2), v4 := (0, 0, 0, 1).
(1) Verificare che (v1, v2, v3, v4) è base di R^4
(2) Esiste unico f appartenente a end(R^4) tale che
f(v1) = f(v2) = v1 − v3, f(v3) = v1, f(v4) = 0.
Calcolare M(f).
(3) Trovare basi di ker(f) e di im(f).
La parte che mi è rimasta difficile da capire riguarda il punto (3) , in particolare la risoluzione del libro scrive questo :
Per verificare che B := (v1, v2, v3, v4) `e base di R^4
è sufficiente dimostrare che i quattro vettori v1, v2, v3, v4 sono linearmente indipendenti. A tale
scopo basta verificare che il determinante della matrice qui sotto
−1 1 2 1
0 1 0 2
0 0 2 −1
0 0 0 1
È = 4
Risulta che
e1 = −v1 + v2 − v3, e2 = v3 − 2v4, e3 = v1/2 + v4/2, e4 = v4,
perciò
f(e1) = f(−v1 + v2 − v3) = f(v3) = v1 = (0, 0, 2, −1),
f(e2) = f(v3 − 2v4) = f(v3) = v1 = (0, 0, 2, −1),
f(e3) = f(v1/2 + v4/2) = f(v1)/2 = v1/2 − v3/2 = (0, −1/2, 1, −3/2),
f(e4) = f(v4) = 0.
PRIMO PROBLEMA SORGE PROPRIO NEL CALCOLO DI f(e1), f(e2),f(e3), f(e4)
SAPRESTE MOSTRARMI TUTTI I PROCEDIMENTI CHE SERVONO PER CALCOLARLI?
L' esercizio poi prosegue così:
Per determinare una base di ker(f) basta allora trovare vettori w1, w2 ∈ R
^4
linearmente indipendenti e tali
che:
f(v) = 0. Poichè f(v1) = f(v2) ed f(v4) = 0 segue che basta scegliere
w1 := v1 − v2 = (1, −1, 0, −2), w2 := v4 = (0, 0, 0, 1). Concludiamo che
B :=
((1, −1, 0, −2),(0, 0, 0, 1)) è base di ker(f).
Infine per trovare una base di im(f) è sufficiente estrarre una base dall’insieme
{(0, 0, 2, −1),(0, 0, 2, −1),(0, −1/2, 1, −3/2),(0, 0, 0, 0)}. Quindi una base di im(f)
è, per esempio, C := ((0, 0, 2, −1),(0, −1/2, 1, −3/2)).