Domanda sul concetto di parametrizzazione

[alifasi]

Ciao,

vorrei chiedere un aiuto riguardo il concetto di parametrizzazione, ad esempio mi trovo negli esercizi per integrali tripli a dover parametrizzare, mettiamo un paraboloide, in coordinate polari.

Mi chiedo però se si possa chiamare parametrizzazione anche:

$x=x$
$y=y$
$z=x^2+y^2$

perché in un certo senso bastano due parametri (x,y) perché il terzo: z, sia definito.

Ma è, a conti fatti, una parametrizzazione?

[Leonardo97]

Certo che si.
Ti do la definizione generale:
Parametrizzare un insieme $X \subseteq \mathbb{R}^n$ significa trovare una funzione $f: U \subseteq \mathbb{R}^k \to X | f(U)=X$, cioè descriviamo $X$ come l'immagine di una data funzione.
Nel nostro caso (paraboloide):
$X=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z=x^2+y^2\}$.
Definiamo $f: \mathbb{R}^2 \to X | f(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$.
Chiaramente $f(\mathbb{R}^2)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z=x^2+y^2\}=X$.
Dunque possiamo dire tranquillamente che $f$ è una parametrizzazione del paraboloide $X$.

[alifasi]

Molto chiaro

Mi hai messo in ordine le idee, grazie mille.

[Leonardo97]

Felice di aver aiutato