Problema conduttore sferico

[ilsaggio]

Ciao a tutti:) Ho questo problema di fisica 2: un conduttore sferico di raggio $R_1$=10 cm, è concentrico ad un conduttore sferico cavo di raggio interno $R_2$=20 cm e raggio esterno $R_3$=40 cm. Una carica $q=10^(-8) C $ depositata sul conduttore interno. Mi si chiedi di calcolare l'energia elettrostatica $U$ del sistema.




La soluzione del libro è questa:
$ U= U_(Int)+U_(ext)=1/2q_1DeltaV+q_3^2/(8*pi*epsilon_0*R_3) $
Non riesco a capire come si arrivi a questa soluzione.

Inoltre mi si chiede: se una carica $q'=-3*10^(-8) C$ viene depositata sulla superficie del conduttore cavo, calcolare le cariche $q_1 $, $q_2 $ e $q_3 $ presenti sulle 3 superfici sferiche.

Io calcolo quindi $q_3'=q_3+q'=-2*10^(-8) C$
Io quindi direi che la cariche si distribuiscono in questo modo.
$q_2'=-q_3'$ e $q_1'=q_3'$
mentre la soluzione del libro indica
$q_1=10^(-8) C $ e $q_2=-10^(-8) C $
e non capisco il perchè.
Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[Brufus]

Avrà sicuramente calcolato l'integrale di volume della densità di energia elettrica. $rho (x,y,z)=1/2 epsilon_0 E^2 (x,y,z)$

[mmdem]

Ci sono tre cariche elettriche: \(\displaystyle q_1 \) sul conduttore sferico e \(\displaystyle -/+ q_1 \) indotta sulle superfici interna ed esterna del conduttore cavo rispettivamente (risulta dalla necessità di avere potenziale costante / campo nullo in quest'ultimo). Si calcola il campo nelle due regioni dove non vale 0 e si integra per avere il potenziale. Il fattore 1/2 proviene dal solito discorso che la carica esterna stessa produce il potenziale nel quale si trova.
Per la parte seconda, la carica supplementare q' si distribuisce sulla superficie esterna, il calcolo è per il resto uguale. Buon lavoro.

[ilsaggio]

Grazie per le risposte

Per la parte seconda, la carica supplementare q' si distribuisce sulla superficie esterna, il calcolo è per il resto uguale.

Questa parte non mi è molto chiara, non capisco perché il sistema non raggiunga un "equilibrio", cioè $|q_1'|=|q_2'|=|q_3'|=2*10^(-8) C $

[mmdem]

Il campo elettrico in un conduttore all'equilibrio è 0. Quindi la carica totale rinchiusa da qualsiasi superficie gaussiana contenuta nel conduttore cavo deve essere nulla. Risulta che la carica sulla superficie interna deve compensare sempre la carica della sfera centrale (cioè: è uguale e di segno contrario). Di conseguenza, tutta la carica che possiamo aggiungere ulteriormente sul conduttore cavo deve finire necessariamente sulla superficie esterna dove trova già una carica di induzione corrispettiva a quella finita sulla superficie interna (inizialmente, il conduttore cavo ha la carica totale nulla); le due cariche si sommano algebricamente.

[ilsaggio]

Grazie chiarissimo, per l'effetto schermo praticamente?

[mmdem]

L'effetto schermo per la carica interna vale se la gabbia (conduttore cavo in questo caso) è collegata alla terra (quindi rimane al potenziale nullo attraverso scambio di carica con quest'ultima), altrimenti la carica centrale non può essere schermata.