Domanda stupida per necessità di R nell'analisi

[Settevoltesette]

Come mai Q é inadeguato per studiare per esempio convergenza, continuità differenziabilita' e integrazione?

[Settevoltesette]

Grazie Sergio per la risposta ma mi rimangono dei dubbi, per esempio una successione di chaucy non è detto che possa convergere in Q (per esempio se tende a radice di 2) però non si potrebbe studiare comunque la convergenza in Q in generale? Oppure per la continuità se ad esempio considero e^x con x in Q dato che il dominio è Q non sarebbe continua la funzione? (ed allora perché non studiare la continuità su dominio Q?)

Probabilmente la risposta è sempre la stessa che mi hai dato, però credo di non riescire a capirla fin in fondo pur essendo banale

[Settevoltesette]

Prendo una funzione f: Q - - > X considero un sottoinsieme A di Q per cui esiste limite x0 di una successione di elementi di A allora vedo come si comporta il f(x) al tendere di x a x0, se esiste il limite di f(x) e coincide con f(x) allora f è continua in x0.

Me la sono inventata al momento, senza nessun rigore, giusto qualche idea di come potrebbe essere, sicuramente devo aver scritto qualcosa di sbagliatissimo.

[vict85]

La topologia, che verosimilmente studierai più avanti, generalizza i concetti di convergenza e continuità a spazi molto più generali. Per quanto riguarda la differenziabilità è più complesso. Per l'integrazione esiste la teoria della misura ovviamente. Ma la completezza dello spazio facilità molto il discorso. Insomma molti risultati che valgono nei reali non sono validi per i numeri razionali.

[Settevoltesette]

ok

[gugo82]

Il problema è che in $QQ$ non sono soddisfatte proprietà desiderabili per una teoria del limite "decente".
Ad esempio, esistono successioni monotone limitate che non sono convergenti e dunque troppi problemi elementari rimangono senza soluzione.

Quindi il problema non è che il Calcolo non si possa fare in $QQ$, ma che è totalmente "inutile".

[Settevoltesette]

ok, grazie a tutti per le risposte.

[vict85]

Tra l'altro ci sono molte funzioni importanti che non assumono valori razionali nei punti di \(\mathbb{Q}\). Basta pensare alle funzioni seno e coseno.

[axpgn]

Definire "numerosi"

[Settevoltesette]

No ragazzi, la mia domanda non è partita sull'idea che tanto gli irrazionali sono poche eccezioni, é partita dal fatto che ho letto su un libro la seguente frase:"una soddisfacente discussione dei concetti dell'analisi (come convergenza, continuità, differenziabilita', integrazione) si basa su un'accurata definizione di numero [...] l'insieme dei razionali é inadeguato" e poi fa l'esempio che non esiste un razionale il cui quadrato sia 2... Mi chiedevo allora ma non è possibile estendere la cosa ai razionali? Quali sono i motivi per cui non funziona la cosa? Credevo che generalizzare ai razionali si poteva trovare un "analisi" più ricca ed invece poi gugo ha detto che al contrario si perderebbero troppe cose elementari e non servirebbe a molto