Gruppi abeliani liberi

Messaggioda 3m0o » 13/01/2020, 22:15

Io non ho ben capito cos'è un gruppo abeliano libero.
Se prendo \( X \) un insieme, e \( \{ A_x : x \in X \} \) una collezione di gruppi abeliani (finiti?). Il gruppo abeliano libero è la somma diretta \(A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \).
Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \(x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda solaàl » 13/01/2020, 23:30

Se prendi un insieme \(X\), il gruppo abeliano libero su quell'insieme è (isomorfo al)l'insieme delle funzioni \(f : X \to \mathbb Z\) che assumono un valore diverso da zero in un numero finito di posti.
3m0o ha scritto:Se prendo \( X \) un insieme, e \( \{ A_x : x \in X \} \) una collezione di gruppi abeliani (finiti?). Il gruppo abeliano libero è la somma diretta \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \).
No, questa è un'altra cosa :) ti basta questo, o vuoi sapere cosa?

Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \( x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
Qui non capisco cosa hai scritto...
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda 3m0o » 14/01/2020, 02:02

No, questa è un'altra cosa :) ti basta questo, o vuoi sapere cosa?

Ti chiederi gentilmente di delucidarmi le idee, cos'è quello allora?

solaàl ha scritto:
Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \( x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
Qui non capisco cosa hai scritto...

Notazione: \( \operatorname{Hom}(G,G'):= \{ \phi : G \to G' : \phi \ \text{omomorfismo} \} \).
Con \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) che esiste una biiezione tra i due insiemi.
\( \forall y \in X \) esiste un omomorfismo \( \ell_y : A_y \to A \) tale che \( a \mapsto \sum_{x\in X} a_x \)
dove \( a_x = a \) se \( x=y \) e zero altrimenti. E la somma è una somma formale.
Quindi data una collezione \( \{\phi_x : A_x \to B : p_x \ \text{omomorfismo}, \forall x \in X \} \) definiamo \( \phi : A \to B \) per
\[ \phi( \sum_{x\in X} a_x ) = \sum_{x \in X} \phi_x(a_x) \]
dove la somma a sinistra è una somma formale e a destra è una somma di elementi in \( B \) e ha senso perche ci sono un numero finito di numeri diversi da zero.
Si puo verificare che \( \phi \) è un omomorfismo relativamete facilmente.
E dunque abbiamo un'applicazione
\[ \alpha: \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \to \operatorname{Hom}(A,B) \]
E ora definiamo
\[ \beta : \operatorname{Hom}(A,B) \to \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \]
per mezzo di \( \ell_y \).
Abbiamo che \( \phi \circ \ell_y = \phi_y \) per ogni \( y \in X \).
Abbiamo che \[ \phi \circ \ell_y (a) = \phi ( \sum_{x \in X} a_x)=\sum \phi_x(a_x) = \phi_y(a) \]
Dunque \( \beta\) è definita da
\( \phi \mapsto ( \phi \circ \ell_x)_{x \in X} \).
e verifichiamo facilmente che \( \beta \circ \alpha ( (\phi_x)_{x \in X} )= (\phi_x)_{x \in X} \) e che \( \alpha \circ \beta ( \phi) = \alpha ( (\phi_x)_{x \in X} ) = \phi \).
Dunque
\[ \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \]

Ora la parte seguente la copio dagli appunti perché c'è una cosa che non capisco bene la evidenzio in grassetto:
Inotre \( A \), che ricordiamo aver definito come \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \), è unico ad un isomorfismo scelto (non saprei tradurre bene questa frase: "il est unique a un isomorphisme près").
Supponiamo infatti che ne esista un'altra somma diretta \( A' \) allora \( \operatorname{Hom}(A',A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \)
scegliamo \( B=A \) allora abbiamo che \( (\ell_x)_{x \in X} \to \ell : A' \to A \)
inoltre scambiando i ruoli di \( A \) e di \(A' \) abbiamo che
\( \operatorname{Hom}(A,A') \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A') \)
abbiamo che \( (\ell_x')_{x \in X} \to \ell' : A \to A' \)
e si puo dimostrare che \( \ell ' \circ \ell = id_{A'} \) e \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) per dimostrare che \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) utilizziamo il fatto che \( \operatorname{Hom}(A,A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \) dove \( (\ell_x)_{x \in X} \mapsto ?? \)
l'immagine potrebbe essere sia \( Id_{A} \) sia \( \ell \circ \ell' \) pertanto siccome abbiamo una biiezione deduciamo che \( Id_{A} = \ell \circ \ell' \).
Allo stesso modo \( \ell' \circ \ell = Id_{A'} \) e deduciamo che \( A \cong A' \).

Il caso speciale \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) allora abbiamo che
\[ \operatorname{Hom}( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} , B)= \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}( \mathbb{Z} , B) = \prod_{x \in X} B= \mathcal{F}(X,B) \]
dove \( \mathcal{F}(X,B) \) indica le applicazioni da \( X \) verso \(B \)
Le ultime due uguaglianze non le ho capite

Definizione:
\( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} \) è il gruppo abeliano libero di base \(X \).

Io non capisco se intende che un gruppo abeliano libero è necessariamente con gli \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) oppure se qualunque collezione di gruppi abeliani \( \{ A_x : x \in X \}\) definisce il seguente gruppo abeliano libero \( \bigoplus_{x \in X} A_x \).

Ora mi sembra strano poiché il capitolo degli appunti si chiama : " Gruppi abeliani liberi" il capitolo finisce sostanzialmente qui aggiunge solo qualche risultato sul fatto che ogni gruppo abeliano si scrive come quoziente di gruppi abeliani liberi. E mi sembrerebbe una scelta strana di nominare un capitolo con "Gruppi abeliani liberi" se la definizione è in fondo al capitolo e tutto quello prima non è un gruppo abeliano libero.
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda solaàl » 14/01/2020, 09:22

Ah, ho capito qual è il tuo problema.

No, il gruppo abeliano libero su un insieme è una somma diretta di copie di Z, tante quante sono gli elementi dell'insieme; prova a dimostrare che effettivamente c'è una biiezione
\[
\bigoplus_{x\in X}\mathbb Z \cong \{f : X \to \mathbb Z \mid f(x)=0 \quad \forall\!\!\forall x\}
\] mi sembra tu ne sia in grado. (La notazione \(\forall\!\!\forall x\) significa "per ogni x tranne un numero finito.)

Per il resto, la somma diretta (che è la costruzione che hai delineato in questo secondo commento) è una cosa piu generale: puoi fare somme dirette di gruppi non liberi (per esempio di gruppi ciclici finiti), e quelle non saranno libere: un esempio è \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\), perché non può essere libero?
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda 3m0o » 14/01/2020, 12:54

solaàl ha scritto:Ah, ho capito qual è il tuo problema.

No, il gruppo abeliano libero su un insieme è una somma diretta di copie di Z, tante quante sono gli elementi dell'insieme; prova a dimostrare che effettivamente c'è una biiezione
\[
\bigoplus_{x\in X}\mathbb Z \cong \{f : X \to \mathbb Z \mid f(x)=0 \quad \forall\!\!\forall x\}
\] mi sembra tu ne sia in grado. (La notazione \(\forall\!\!\forall x\) significa "per ogni x tranne un numero finito.)


In realtà non riesco proprio a dimostrare quella roba....
Se definisco la funzione
\[ \alpha : \{f : X \to \mathbb Z \mid f(x)=0 \quad \forall\!\!\forall x\} \to \bigoplus_{x\in X}\mathbb Z \]
come \( \alpha(f) = \sum_{x \in X} f(x) \), ben definita poiché la somma a destra contiene un numero finito di numeri ed è una somma formale. Non riesco però a definire l'inversa per dimostrare che la composta è l'identità.

Edit:
La mia idea è data \( \sum_{x \in X} n_x \in \bigoplus_{x\in X}\mathbb Z \) di definire \( \beta \) che mi associa la funzione \( f:= \sum_{x \in X} n_x f_x \) dove \( f_x : X \to \mathbb{Z} \) è definita da \( f_x(y) = 1 \) se \( x=y \) e zero altrimenti.
Ma mi sembra scorretta.

Credo:
\[ \alpha \circ \beta ( \sum_{x \in X} n_x ) = \alpha ( \sum_{x \in X} n_x f_x ) = \sum_{x \in X} n_x f_x(x) = \sum_{x \in X} n_x \]
Mentre
\[ \beta \circ \alpha ( f ) = \beta ( \sum_{x \in X} f(x) ) = \sum_{x \in X} f(x) f_x \]
e direi che per definizione \( f = \sum_{x \in X} f(x) f_x \) ma non sono molto convinto onestamente.
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda solaàl » 14/01/2020, 14:27

Sì, è così invece. Vedi che ce l'hai fatta

Il motivo per cui è così è che
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\(f(a) = \sum_{x\in X} f(x)f_x(a)\); \(f_x\) non è altro che una "delta di Kronecker" che vale 1 sulla diagonale e zero altrove
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda 3m0o » 14/01/2020, 14:36

3m0o ha scritto:Ora la parte seguente la copio dagli appunti perché c'è una cosa che non capisco bene la evidenzio in grassetto:
Inotre \( A \), che ricordiamo aver definito come \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \), è unico ad un isomorfismo scelto (non saprei tradurre bene questa frase: "il est unique a un isomorphisme près").
Supponiamo infatti che ne esista un'altra somma diretta \( A' \) allora \( \operatorname{Hom}(A',A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \)
scegliamo \( B=A \) allora abbiamo che \( (\ell_x)_{x \in X} \to \ell : A' \to A \)
inoltre scambiando i ruoli di \( A \) e di \(A' \) abbiamo che
\( \operatorname{Hom}(A,A') \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A') \)
abbiamo che \( (\ell_x')_{x \in X} \to \ell' : A \to A' \)
e si puo dimostrare che \( \ell ' \circ \ell = id_{A'} \) e \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) per dimostrare che \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) utilizziamo il fatto che \( \operatorname{Hom}(A,A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \) dove \( (\ell_x)_{x \in X} \mapsto ?? \)
l'immagine potrebbe essere sia \( Id_{A} \) sia \( \ell \circ \ell' \) pertanto siccome abbiamo una biiezione deduciamo che \( Id_{A} = \ell \circ \ell' \).
Allo stesso modo \( \ell' \circ \ell = Id_{A'} \) e deduciamo che \( A \cong A' \).

Il caso speciale \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) allora abbiamo che
\[ \operatorname{Hom}( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} , B)= \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}( \mathbb{Z} , B) = \prod_{x \in X} B= \mathcal{F}(X,B) \]
dove \( \mathcal{F}(X,B) \) indica le applicazioni da \( X \) verso \(B \)
Le ultime due uguaglianze non le ho capite

Su questa parte riusciresti a chiarirmi le parti in grassetto che non mi sono totalmente chiare?
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda solaàl » 14/01/2020, 20:41

Où es-tu en train d'étudier un peu d'algèbre? Bourbaki? "Unique à [un] isomorphisme prés", ça signifie qu'il existe un seul isomorphisme entre les deux ensembles.
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Re: Gruppi abeliani liberi

Messaggioda solaàl » 14/01/2020, 21:41

La parte in grassetto è incomprensibile perché è scritta in modo incomprensibile :) quello che succede è che la somma diretta soddisfa una proprietà universale (devo scriverti quale? Se cerchi qua dentro troverai tanti esempi, e l'argomento che si usa è sempre lo stesso...)
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