No, questa è un'altra cosa
ti basta questo, o vuoi sapere cosa?
Ti chiederi gentilmente di delucidarmi le idee, cos'è quello allora?
solaàl ha scritto:Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \( x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
Qui non capisco cosa hai scritto...
Notazione: \( \operatorname{Hom}(G,G'):= \{ \phi : G \to G' : \phi \ \text{omomorfismo} \} \).
Con \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) che esiste una biiezione tra i due insiemi.
\( \forall y \in X \) esiste un omomorfismo \( \ell_y : A_y \to A \) tale che \( a \mapsto \sum_{x\in X} a_x \)
dove \( a_x = a \) se \( x=y \) e zero altrimenti. E la somma è una somma formale.
Quindi data una collezione \( \{\phi_x : A_x \to B : p_x \ \text{omomorfismo}, \forall x \in X \} \) definiamo \( \phi : A \to B \) per
\[ \phi( \sum_{x\in X} a_x ) = \sum_{x \in X} \phi_x(a_x) \]
dove la somma a sinistra è una somma formale e a destra è una somma di elementi in \( B \) e ha senso perche ci sono un numero finito di numeri diversi da zero.
Si puo verificare che \( \phi \) è un omomorfismo relativamete facilmente.
E dunque abbiamo un'applicazione
\[ \alpha: \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \to \operatorname{Hom}(A,B) \]
E ora definiamo
\[ \beta : \operatorname{Hom}(A,B) \to \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \]
per mezzo di \( \ell_y \).
Abbiamo che \( \phi \circ \ell_y = \phi_y \) per ogni \( y \in X \).
Abbiamo che \[ \phi \circ \ell_y (a) = \phi ( \sum_{x \in X} a_x)=\sum \phi_x(a_x) = \phi_y(a) \]
Dunque \( \beta\) è definita da
\( \phi \mapsto ( \phi \circ \ell_x)_{x \in X} \).
e verifichiamo facilmente che \( \beta \circ \alpha ( (\phi_x)_{x \in X} )= (\phi_x)_{x \in X} \) e che \( \alpha \circ \beta ( \phi) = \alpha ( (\phi_x)_{x \in X} ) = \phi \).
Dunque
\[ \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \]
Ora la parte seguente la copio dagli appunti perché c'è una cosa che non capisco bene la evidenzio in grassetto:
Inotre \( A \), che ricordiamo aver definito come \( A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \), è unico ad un isomorfismo scelto (non saprei tradurre bene questa frase: "il est unique a un isomorphisme près").
Supponiamo infatti che ne esista un'altra somma diretta \( A' \) allora \( \operatorname{Hom}(A',A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \)
scegliamo \( B=A \) allora abbiamo che \( (\ell_x)_{x \in X} \to \ell : A' \to A \)
inoltre scambiando i ruoli di \( A \) e di \(A' \) abbiamo che
\( \operatorname{Hom}(A,A') \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A') \)
abbiamo che \( (\ell_x')_{x \in X} \to \ell' : A \to A' \)
e si puo dimostrare che \( \ell ' \circ \ell = id_{A'} \) e \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) per dimostrare che \( \ell \circ \ell' = id_{A} \) utilizziamo il fatto che \( \operatorname{Hom}(A,A) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,A) \) dove \( (\ell_x)_{x \in X} \mapsto ?? \)
l'immagine potrebbe essere sia \( Id_{A} \)
sia \( \ell \circ \ell' \)
pertanto siccome abbiamo una biiezione deduciamo che \( Id_{A} = \ell \circ \ell' \).
Allo stesso modo \( \ell' \circ \ell = Id_{A'} \)
e deduciamo che \( A \cong A' \).
Il caso speciale \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) allora abbiamo che
\[ \operatorname{Hom}( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} , B)= \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}( \mathbb{Z} , B) = \prod_{x \in X} B= \mathcal{F}(X,B) \]
dove \( \mathcal{F}(X,B) \) indica le applicazioni da \( X \) verso \(B \)
Le ultime due uguaglianze non le ho capiteDefinizione:
\( \bigoplus_{x \in X} \mathbb{Z} \) è il gruppo abeliano libero di base \(X \).
Io non capisco se intende che un gruppo abeliano libero è necessariamente con gli \( A_x = \mathbb{Z} \) per ogni \( x \in X \) oppure se qualunque collezione di gruppi abeliani \( \{ A_x : x \in X \}\) definisce il seguente gruppo abeliano libero \( \bigoplus_{x \in X} A_x \).
Ora mi sembra strano poiché il capitolo degli appunti si chiama : " Gruppi abeliani liberi" il capitolo finisce sostanzialmente qui aggiunge solo qualche risultato sul fatto che ogni gruppo abeliano si scrive come quoziente di gruppi abeliani liberi. E mi sembrerebbe una scelta strana di nominare un capitolo con "Gruppi abeliani liberi" se la definizione è in fondo al capitolo e tutto quello prima non è un gruppo abeliano libero.