Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda f_brizio_f » 13/01/2020, 22:50

Ciao a tutti, ho un problema su questo esercizio.
Si considerino le seguenti permutazioni
σ = (2345)◦(35)◦(479)◦(218)
τ = (48)◦(23)◦(267)◦(436)◦(2357).
Si determini la decomposizione di σ e τ in cicli disgiunti.
Ora, come la determino la decompsizione? :roll: :roll:
vi prego, aiutatemi ho l'esame a breve, e se avete anche dei file o appunti sulle permutazioni sarebbe l'ideale :roll:
f_brizio_f
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda 3m0o » 14/01/2020, 02:53

Ciao,
Facciamo un esempio \( (3 2 7)(142)(13) \) , puoi vederle come una composizione di tre permutazioni (funzioni) quindi \( \sigma_1 = (3 2 7) \), \( \sigma_2 = (142) \) e \( \sigma_3 = (13) \).
Quello che tu cerchi è un espressione in cicli disgiunti di \( \sigma := \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 \)

1) Partiamo sempre dal \( 1 \) e osserviamo che \( \sigma_3(1) = 3 \). Ora \( \sigma_2(3)=3 \) ma \( \sigma_1(3)=2 \). Sostanzialmente quello che stiamo facendo è
\[ (\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(1) = ( \sigma_1 \circ \sigma_2)(\sigma_3(1))= (\sigma_1 \circ \sigma_2)(3)= \sigma_1 ( \sigma_2(3))=\sigma_1(3)=2 \]
ora siccome stai cercando \( \sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 \) anche la tua funzione di sinistra deve soddisfare \( \sigma(1)=2 \), quindi possiamo semplicemente scrivere \( (12... \).

2) Ora siccome siamo "atterrati" sul \(2 \) dobbiamo guardare come continua il ciclo che inizia con \( (12...\) quindi applichiamo il \( 2 \) a \( \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 \) e troviamo
\[ (\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(2) = ( \sigma_1 \circ \sigma_2)(\sigma_3(2))= (\sigma_1 \circ \sigma_2)(2)= \sigma_1 ( \sigma_2(2))=\sigma_1(1)=1 \]
Quindi anche \( \sigma(2) = 1 \) pertanto possiamo chiudere la parentesi, il primo ciclo lo abbiamo trovato \( (12) \).

3) Ora continuiamo a guardare l'immagine di \( \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 \) per il numero più piccolo che non abbiamo nel ciclo già trovato, ovvero il \( 3 \). E facciamo lo stesso procedimento.
\[ (\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(3) = ( \sigma_1 \circ \sigma_2)(\sigma_3(3))= (\sigma_1 \circ \sigma_2)(1)= \sigma_1 ( \sigma_2(1))=\sigma_1(4)=4 \]
quindi
\( (12)(34.. \)

4) Siamo "atterrati " sul 4 e continuamo da lì quindi
\[ (\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(4) = ( \sigma_1 \circ \sigma_2)(\sigma_3(4))= (\sigma_1 \circ \sigma_2)(4)= \sigma_1 ( \sigma_2(4))=\sigma_1(2)=7 \]
Quindi \( (12)(347.. \)

5) Siamo atterrati sul \( 7 \) quindi continuamo dal \( 7 \). E puoi osservare che arrivi al \( 3 \) quindi chiudi il ciclo e ottieni \( (12)(347) \).

Ci rimane da capire come determinare velocemente come si comportano i \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \) etc..
Prendiamo sempre il nostro esempio. Se diamo \( 1 \) come argomento come determinare la sua immagine ?
Metti l'argomento tutto a destra e vai verso sinistra e lo puoi vedere come un filtro che ti ferma solo se il numero che incontri è uguale al numero dell'argomento.
\( (3 2 7)(142)(13) \leftarrow \) qui \(1\)

"Entri" nel primo ciclo (13 ) , con argomento \( 1 \).
-Il primo numero che incontri è il \( 3 \), ma l'argomento è \(1 \) sono diversi quindi non succede niente.
-Verifichi il secondo numero che è l' \(1 \), che è uguale all argomento \(1 \) quindi ti ferma e quello che fa è sostituire il tuo argomento con il suo vicino a destra, quindi ora il tuo argomento è \( 3 \). Ora siccome hai trovato un numero che ti ha fermato esci automaticamente da queste parentesi ma applichi come nuovo argomento il \( 3 \).
Quindi \( \sigma_3(1)=3\)

Entriamo quindi nel secondo ciclo (per intenderci \( (142) \)) e li diamo il \( 3 \) come argomento.
-Il primo numero è 2, è uguale al 3? No. Allora non succede niente.
-Il secondo numero è 4, è diverso da 3 quindi non succede niente.
- Il terzo numero è 1, è diverso da 3 quindi non succede niente.
E come entri esci, quindi il tuo argomento è ancora il \(3 \).
Quindi \( \sigma_2(3)=3 \)

Entriamo nel terzo ciclo quello uguale a \( (327) \) e li diamo il \( 3 \) come argomento.
-Il primo numero è il 7, diverso da 3 e non succede niente.
- Il secondo numero è il 2, diverso da 3 e non succede niente.
-Il terzo numero è il 3 che è uguale al argomento quindi ti fermi e sostituisci l'argomento con il suo vicino a destra che è il \(2 \). E siccome il tuo argomento è cambiato esci dal ciclo.
Quindi \( \sigma_1(3)=2 \).

Quindi \( ( \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(1)=2 \)

Proviamo a vedere con un altro argomento, ad esempio diamo a \( ( \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 \) l'argomento \( 7 \).

Entriamo nel primo ciclo con argomento \( 7 \)
-Il primo numero è 3, è diverso da 7 quindi non succede niente
-Il secondo numero è 1, è diverso da 7 quindi non succede niente.
E come entri esci, quindi il tuo argomento è ancora il \(7 \).
Quindi \( \sigma_3(7)=7\)

Entriamo quindi nel secondo ciclo (per intenderci \( (142) \)) e li diamo il \( 7 \) come argomento.
-Il primo numero è 2, è diverso da 7 quindi non succede niente
-Il secondo numero è 4, è diverso da 7 quindi non succede niente.
- Il terzo numero è 1, è diverso da 7 quindi non succede niente.
E come entri esci, quindi il tuo argomento è ancora il \(7 \).
Quindi \( \sigma_2(7)=7 \)

Entriamo nel terzo ciclo quello uguale a \( (327) \) e li diamo il \( 7 \) come argomento.
-Il primo numero è il 7, è uguale al \( 7 \) argomento e ti fermi, ma il \( 7 \) nel ciclo non ha un vicino a destra. Cosa fai quindi? Beh semplice se alla sua destra c'è una parentesi allora ti manda al primo numero del tuo ciclo, un po' come una porta che ti manda all'inizio. Quindi il tuo argomento in (327), siccome il filtro che ti ha fermato è il 7 ti manda a (327 ) (in grassetto). E siccome l'argomento è cambiato ti esci.
Quindi \( \sigma_1(7)=3 \).

Quindi \( ( \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3 )(7)=3 \)

Spero di essere stato abbastanza chiaro.
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda f_brizio_f » 14/01/2020, 22:53

ok, ho capito il procedimento, e nel mio esercizio, la prima permutazione mi torna giusta e viene
σ = (1832) ◦ (4795)
la seconda però non mi torna, e dovrebbe venire
τ = (17684) ◦ (35)
ho capito che devo prendere sempre il numero di destra con una permutazione, ma con 2 permutazioni come faccio?
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda f_brizio_f » 14/01/2020, 22:55

non so se sono stato molto chiaro, comunque, sostanzialmente il procedimento tuo l'ho applicato all'esercizio e σ mi torna come la soluzione, ma τ non mi torna...
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 01:26

Se la permutazione è questa
f_brizio_f ha scritto:τ = (48)◦(23)◦(267)◦(436)◦(2357).

Allora la decomposizione in cicli disgiunti dovrebbe essere
\( (2 7 6 8 4)(35) \) e non
f_brizio_f ha scritto:e dovrebbe venire
τ = (17684) ◦ (35)

Sicuro che le soluzioni sono queste? Sarà un typo del correttore perché se guardi bene in \( \tau \) come l'hai definita il numero \( 1 \) è un punto fisso e quindi \( \tau(1)=1 \) mentre \( (17684) (35) (1) = 7 \) che non è possibile se sono uguali.
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 01:29

f_brizio_f ha scritto:ho capito che devo prendere sempre il numero di destra con una permutazione, ma con 2 permutazioni come faccio?

Cosa intendi? Perdonami ma non capisco.
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda f_brizio_f » 15/01/2020, 10:52

si, le soluzioni sono queste. Intendo dire che io ho applicato il tuo ragionamento a σ e torna come nella soluzione, applicando però lo stesso ragionamento a τ non torna.
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 12:59

f_brizio_f ha scritto:si, le soluzioni sono queste. Intendo dire che io ho applicato il tuo ragionamento a σ e torna come nella soluzione, applicando però lo stesso ragionamento a τ non torna.

Perché le soluzioni per \( \tau \) sono sbagliate, per questo non ti torna.
Sarà un typo(=errore) del correttore perché se guardi bene in \( \tau \) come l'hai definita il numero \( 1 \) è un punto fisso e quindi \( \tau(1)=1 \) mentre \( (17684) (35) (1) = 7 \) che non è possibile se sono uguali.

Tu che risultato hai ottenuto?
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda f_brizio_f » 15/01/2020, 15:06

(2638)(7)
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Re: Permutazioni cicli disgiunti

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 15:15

Posta i passaggi con i ragionamenti che hai fatto.
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