Domanda stupida per necessità di R nell'analisi

[gugo82]

Il problema è che usi “generalizzare” in modo errato.

[Settevoltesette]

In che senso?

[vict85]

Usare un sottoinsieme invece di un insieme completo non è generalizzare. Generalizzare è qualcosa del tipo: "posso definire una teoria di questo tipo su uno spazio con le seguenti proprietà?"

[gugo82]

In che senso?

In casi simili gli americani consultano il Webster. Qui leggo: "generalize: to derive or induce (a general conception or principle) from particulars".
Insomma: dal particolare al generale.
Rispetto agli interi, i naturali sono un "particolare". Rispetto ai razionali, gli interi sono un "particolare". Rispetto ai reali, i razionali sono un "particolare".
Puoi generalizzare dai naturali agli interi, dagli interi ai razionali, dai razionali ai reali, ma non viceversa.

Già.
Anche a me capita di usare il dizionario di tanto in tanto.

Per il resto, se sei interessato alle possibilità di aspetti della matematica basati sui razionali, potresti dare un'occhiata a http://www.mi.imati.cnr.it/~alberto/.
Tanto per dare un'idea, qui si definisce un "piano razionale" come $\{(r,s)|r,s\in QQ\}$, si definiscono circonferenze del tipo $a^2+b^2=c^2$ dove $a,b,c$ siano una terna pitagorica, si definiscono perfino funzioni trigonometriche sui razionali.

Mah… Dove l'hai trovata 'sta roba?!?

[otta96]

Voglio dire la mia.
Anche a me è capitato spesso di farmi questa domanda, ricevendo (sia da me stesso che da altri) questa risposta: perché $RR$ è completo.
Però, nonostante ero convinto che dovesse essere questa la "risposta giusta" alla domanda, per lungo tempo non ne capivo il perché.
Poi mi sono accorto che in matematica ci sono certi problemi, chiamiamoli di esistenza in cui ci si chiede se dato un oggetto $a$, ne esiste un altro $b$ tale che $b$ sia in una certa relazione con $a$ (per ora rimango sul vago poi entro più nello specifico). In questi casi può non essere facile trovare $b$, un po' perché non si sa come cercare e può non essere facile viceversa dimostrare che non esiste.
Quindi sono molto preziosi tutti quei risultati che ti caratterizzano in modo intrinseco, cioè puramente in termini di $a$, se esiste o meno un tale $b$.
Per non restare nel vago faccio alcuni esempi. Un problema che conoscono tutti è quello, dato $a\inNN$, capire se esiste un $b\inNN$ tale che $a=3b$ (cioè se $a$ è un multiplo di $3$), e tutti sanno che esiste un modo molto facile per stabilirlo (il criterio di divisibilità per $3$). Più in generale tutti i criteri di divisibilità sono soluzioni intrinseche di problemi di esistenza, per questo sono belli.
Ma arriviamo al dunque: vogliamo parlare di analisi, ma cos'è l'analisi? Dovremmo anzitutto chiarire questo aspetto. Rimanendo ad un livello base così che più persone possibili possano capire, si può dire che in analisi (1) si studiano i limiti, la continuità, le derivate e gli integrali. È facile rendersi conto che tutte queste cose si possono ricondurre a limiti e sup di insiemi.
Quindi possiamo dire tranquillamente che non sarebbe male capire se una funzione (o una successione) è convergente, ovvero se $EEl\inRR$ tale che $l$ sia proprio il limite della funzione. L'ultimo modo in cui l'ho scritta rende chiaro che questo è un problema di esistenza del tipo discusso prima, ma meno banale degli esempi precedenti, questo fa sì che sarebbe molto più importante avere un criterio intrinseco per risolvere il problema. Il bello è che c'è un criterio di questo tipo, è esattamente il criterio di Cauchy, che vale in $RR$ proprio per la sua completezza (in effetti se parliamo nel contesto degli spazi metrici, la definizione di completezza è esattamente "se funziona il criterio di Cauchy"), quindi quando vogliamo sapere se una funzione ha limite non dobbiamo controllare $AAl\inRR$ se $l$ è il suo limite (sono un po' tantini), basta usare il criterio di Cauchy.
Discorso simile si può fare per i sup di insiemi, infatti capire se esiste (finito) il sup di un certo insieme è un problema di esistenza e di nuovo la completezza di $RR$ ci permette di determinare un criterio intrinseco per capire se un insieme ha sup, infatti sappiamo che basta controllare che l'insieme sia non vuoto e limitato superiormente (ok, non è del tutto intrinseco ma è molto più facile da controllare quest'altra condizione di esistenza).
Quindi riassumendo la completezza di $RR$ ci permette di avere dei modi per controllare molto comodamente delle cose che sono veramente cruciali in analisi, senza di essa si potrebbero anche definire le nozioni fondamentali (come ha detto vict85 giustamente, e anche in altri modi), ma non si otterrebbero delle teorie altrettanto soddisfacenti.
Spero che questa risposta ti dia la sensazione di aver colto il "vero" motivo per cui è importante la completezza di $RR$ come la da a me.

[Settevoltesette]

Ti ringrazio otta96 per aver scritto i tuoi pensieri al riguardo e grazie a tutti per le risposte.