Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda Luk_3D » 13/01/2020, 17:55

Mi viene richiesto il calcolo dell integrale:

$ int_(gamma) x^3/y^2 dl $

dove $ gamma $ è l'arco di iperbole $ xy = 1 $ la cui proiezione ortogonale contenuta sull' asse $x$ è $[0,1]-{0}$

Come si svolge questa tipologia di esercizi? Per ora ho svolto solo integrali lungo curve parametrizzate, quindi in poche parole ho semplicemente applicato la definizione di integrali di linea di 1° specie.
Mi ha detto un mio amico che devo parametrizzare l'equazione dell'iperbole, sinceramente non capisco ne il senso ne la correttezza di ciò che è stato scritto.
Riporto ciò che mi è stato fatto:

$xy=1$
$ty=1$
$y=1/t$
${ ( x=t ),( y=1/t ):}$
$AA tin [0,1]-{0}$
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda pilloeffe » 13/01/2020, 18:30

Ciao Luk_3D,

Beh, si ha:

$\gamma(t) = \gamma(x(t), y(t)) = \gamma(t, 1/t) \qquad t \in (0, 1] $

Ora non ti resta che calcolare $\text{d}l $... :wink:
Disponi del risultato dell'esercizio?
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda Luk_3D » 13/01/2020, 18:52

pilloeffe ha scritto:Ciao Luk_3D,

Beh, si ha:

$\gamma(t) = \gamma(x(t), y(t)) = \gamma(t, 1/t) \qquad t \in (0, 1] $

Ora non ti resta che calcolare $\text{d}l $... :wink:
Disponi del risultato dell'esercizio?

Quindi per parametrizzare da quello che ho capito basta porre, o $x$ o $y$ uguale ad una variabile (es. $t$) e ricavare l'altra di conseguenza? Ed immagino il dominio di $x$ o $y$ (in base a quella scelta) diventerà il dominio della variabile $t$?
No non dispongo della soluzione dell'esercizio, domani tenterò la risoluzione in attesa di vostre conferme!
Grazie mille.
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda pilloeffe » 13/01/2020, 19:57

Beh, nel caso proposto a dire la verità si può anche evitare di parametrizzare, perché $y = f(x) = 1/x $ ed essendo $\text{d}l = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text{d}x $ si ha:

$ \int_(gamma) x^3/y^2 \text{d}l = \int_0^1 x^5 \sqrt{1 + 1/x^4} \text{d}x = \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + x^4} \text{d}x = 1/4 \int_0^1 (1 + x^4)^{1/2} 4x^3 \text{d}x = ... $
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda Luk_3D » 14/01/2020, 10:13

pilloeffe ha scritto:Beh, nel caso proposto a dire la verità si può anche evitare di parametrizzare, perché $y = f(x) = 1/x $ ed essendo $\text{d}l = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text{d}x $ si ha:

$ \int_(gamma) x^3/y^2 \text{d}l = \int_0^1 x^5 \sqrt{1 + 1/x^4} \text{d}x = \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + x^4} \text{d}x = 1/4 \int_0^1 (1 + x^4)^{1/2} 4x^3 \text{d}x = ... $


Per la parametrizzazione quindi si fa come ho scritto? Scusami ma non ho mai affrontato quesiti del genere.
Per la risoluzione dell' integrale, considerando la $t$ parametrizzata ho pensato di svolgerla cosi:

$int_(a)^(b) f(gamma(t))*||gamma'(t)||dt $

$int_(0+epsilon)^(1) t^5*sqrt(1^2+t^(-4)) dt$
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Messaggioda pilloeffe » 14/01/2020, 10:35

Sì beh, se ci fai caso è lo stesso integrale che ti ho scritto io a parte quell'$\epsilon $ nell'estremo inferiore dell'integrale che comunque non serve (nel senso che non ci sono problemi a calcolare l'integrale in $0$ e in $1$).
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Re: pilloeffe

Messaggioda Luk_3D » 14/01/2020, 12:44

pilloeffe ha scritto:Sì beh, se ci fai caso è lo stesso integrale che ti ho scritto io a parte quell'$\epsilon $ nell'estremo inferiore dell'integrale che comunque non serve (nel senso che non ci sono problemi a calcolare l'integrale in $0$ e in $1$).

Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!
Perché in questo caso non è servito parametrizzare? E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda pilloeffe » 14/01/2020, 13:44

Luk_3D ha scritto:Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!

Figurati, no problem... :wink:
Luk_3D ha scritto:Perché in questo caso non è servito parametrizzare?

Perché nell'esercizio proposto la curva è una funzione, per cui è più semplice tenersi $x$... :wink:
Luk_3D ha scritto:E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?

Sì.
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda Luk_3D » 15/01/2020, 17:11

pilloeffe ha scritto:
Luk_3D ha scritto:Scusami non avevo notato avendo usato variabili diverse!

Figurati, no problem... :wink:
Luk_3D ha scritto:Perché in questo caso non è servito parametrizzare?

Perché nell'esercizio proposto la curva è una funzione, per cui è più semplice tenersi $x$... :wink:
Luk_3D ha scritto:E' corretto il discorso che ho fatto sulla parametrizzazione?

Sì.

Ho provato a parametrizzare in un altro esercizio $x^2+4y^2=4$ ma non mi viene la cosa più bella al mondo da utilizzare successivamente in un integrale.

$ { ( x=sqrt(t) ),( y=sqrt(1-(t/2)^2) ):} $
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Re: Calcolo integrale lungo l'arco di iperbole

Messaggioda pilloeffe » 15/01/2020, 19:18

Avendo $x^2+4y^2=4 $ dividerei tutto per $4 $ sicché $ 1/4 x^2 + y^2 = 1 $ e poi parametrizzerei nel modo seguente:

$ {(x = 2 cos t),(y = sin t):} $
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