Variazione velocità angolare nel tempo

Messaggioda Beppu95 » 14/01/2020, 17:10

Buongiorno a tutti, sto preparando l'esame di meccanica applicata alle macchine e in particolare stavo cercando di risolvere un esercizio su un sistema motore-riduttore-utilizzatore.
L'esercizio chiede, dato il sistema, di calcolare la velocità dell'albero dell'utilizzatore dopo il tempo t=1s, con istante iniziale t=0.
Vi risparmio tutti i disegni e tutti i passaggi (non sono neanche utili ai fini della spiegazione) e vi riporto i dati e le formule principali.
Dati:
$ C_m=10w_1 Nm $ coppia motrice
$ I_1=I_2 $ =momenti d'inerzia delle masse rotanti con gli alberi 1 e 2
$ w_1,_0 $ =10 rad/s velocità dell'albero motore 1 al tempo t=0
$ i=w_1/w_2 $ =rapporto di trasmissione del riduttore
$ eta $ =1 rendimento del riduttore
$ C_r=0 $ coppia resistente
Sistema base da risolvere per ricavare le incognite:
$ { ( C_m-I_1dot(w_1)=C_1 ),( eta=(w_2c_2)/(w_1c_1)),( C_r+I_2dot(w_2)=C_2) ):} $
Allora, l'esercizio chiede la velocità dell'albero dell'utilizzatore $ w_2 $ perciò me la vado a ricavare dal sistema, svolgendo tutti i dovuti calcoli. Alla fine ottengo questa relazione:
$ dot(w_2)=(10ieta)/(I_2+etaI_1i^2)w_2 $
Per semplicità pongo la quantità $ (10ieta)/(I_2+etaI_1i^2)=alpha $ per cui otteniamo che
$ (dw_2)/dt=alphaw_2 $
Come faccio ad integrare questa equazione per ottenere la variazione di velocità del tempo?
Beppu95
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Re: Variazione velocità angolare nel tempo

Messaggioda RenzoDF » 14/01/2020, 18:00

Scusa, ma quella è una semplice equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti, non dirmi che non sai risolverla.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ad ogni modo, puoi farlo o via equazione caratteristica

$\lambda -\alpha=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda=\alpha \quad \Rightarrow \quad \omega_2(t)=k e^{\alpha t} $

dove, grazie alla condizione iniziale,

$k=\omega_2(0)$

Oppure, equivalentemente, puoi separare le variabili e integrare nel tempo

$\int_{0}^{t} \frac{\dot w_2}{w_2}\ \text{d}t=\int_{0}^{t}\alpha \ \text{d}t$

BTW Forse, a numeratore, $10\ i^2\eta $.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
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