Serie numerica con logaritmo.

Messaggioda imFrancesco » 14/01/2020, 17:04

Ciao ragazzi, ho un dubbio sulla seguente serie numerica.

$ sum_(n=1)log(n)/n^(3/2) $

La serie è a termini positivi quindi converge o diverge positivamente.

L'unica cosa che mi è venuta in mente di fare è dire che $ sum_(n=1)log(n)/n^(3/2) $ $ sum_(n=1)log(n)/n^(3/2) <= (nlogn)/(n sqrtn $ Ma credo ci sia qualche errore.

Potreste aiutarmi? Vi ringrazio!
imFrancesco
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Re: Serie numerica con logaritmo.

Messaggioda Bokonon » 14/01/2020, 18:04

E' sempre positiva, ottimo
Ora fai vedere che $lim_(n->oo) log(n)/n^(3/2)=sqrt(lim_(n->oo) log^2(n)/n^3)=0$
Poi cerchi una serie convergente nota per un confronto asintotico.
Ad esempio $K=sum_(n=1)^(oo)1/n^2=pi^2/6$ per cui esiste anche $sqrt(K)=pi/sqrt(6)$
E a questo punto ti chiedi E' vero che $ln^2(n)/n^3<=1/n^2$?
Dopo qualche semplificazione arrivi a $n<=e^sqrt(n)$ e ti chiedi nuovamente E' vero? (e te lo chiedi in modo particolare per $n$ molto grandi).
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Re: Serie numerica con logaritmo.

Messaggioda pilloeffe » 15/01/2020, 01:17

Ciao imFrancesco,

Dato che $\AA x > 0 $ si ha $log x < x $, posto $x := n^{\alpha} $ si ha:

$log n^{\alpha} < n^{\alpha} \implies \alpha log n < n^{\alpha} \implies log n < n^{\alpha} /\alpha $

$\AA \alpha > 0 $. Pertanto si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} log(n)/n^(3/2) < 1/alpha \sum_{n = 1}^{+\infty} n^{\alpha}/n^(3/2) = 1/alpha \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^(3/2 - \alpha) $

Potendo scegliere qualsiasi valore di $\alpha > 0 $ si deduce che la serie proposta è convergente: per convincertene facilmente puoi provare ad esempio assumendo $\alpha := 1/4 $, ma va bene qualsiasi valore di $ \alpha $ tale che $ 0 < \alpha < 1/2 $
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