Equazioni differenziali

[sfrasson]

Ho un esercizio da risolvere a risposta multipla:

Sapendo che $y(t)=3e^t-e^(at)-1$ è una soluzione dell'equazione differenziale $y"+y'-2y=2$ e che $a$ è un numero reale, allora $a$ vale?

1) $1$ o $-2$
2) $-1$ o $2$
3) $1$
4) $2$

Ho risolto l’equazione trovando la soluzione generale e mi viene:

$y(t) = c_1 e^(-2t) + c_2 e^t - 1$.

Solo che non so che risposta dare tra le quattro. Io direi la 1) perché secondo me $a=-2$
Sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao sfrasson,

Benvenuto sul forum e buon anno!

Considerato che è il tuo primo messaggio, ti riscrivo correttamente il tuo quesito e la soluzione generale dell'equazione che hai trovato, in modo che tu possa correggere l'OP eliminando quella brutta immagine: per iniziare basta che racchiudi le equazioni fra due simboli di \$...

Sapendo che $y(t)=3e^t-e^(at)-1 $ è una soluzione dell'equazione differenziale $y''+y'-2y=2 $ e che $a$ è un numero reale, allora $a$ vale?

Ho risolto l’equazione trovando la soluzione generale e mi viene:

$y(t)=c_2 e^t + c_1 e^(-2t) - 1 $

La soluzione generale è corretta, ma non era richiesta e non era ciò che intendeva farti fare chi ti ha proposto il quesito: voleva solo farti derivare la soluzione proposta in modo da trovare i valori di $a$...

Solo che non so che risposta dare tra le quattro. Io direi la 1) perché secondo me $a=-2$. Sbaglio?

Beh, ma non è che devi sparare a caso, devi ragionarci...
Comunque la risposta corretta è la 1) perché $a = - 2 $ (corrispondente a $c_ 1 = - 1 $ e $c_2 = 3$) oppure $a = 1$ (corrispondente a $c_ 1 = 0 $ e $c_2 = 2$).

[Bokonon]

@sfrasson
Per risolvere questo tipo di problemi non conviene in generale risolvere l'equazione differenziale: è sufficiente usare il vincolo.
$y'=3e^t-ae^(at)$
$y''=3e^t-a^2e^(at)$
Sostituendo abbiamo: $e^(at)[a^2+a-2]=0$
$e^at$ è sempre diverso da zero.

[sfrasson]

Grazie mille per le risposte e le indicazioni.

Considerato che è il tuo primo messaggio, ti riscrivo correttamente il tuo quesito e la soluzione generale dell'equazione che hai trovato, in modo che tu possa correggere l'OP eliminando quella brutta immagine: per iniziare basta che racchiudi le equazioni fra due simboli di \$...

Sapendo che $y(t)=3e^t-e^(at)-1 $ è una soluzione dell'equazione differenziale $y''+y'-2y=2 $ e che $a$ è un numero reale, allora $a$ vale?

Posso togliere l’immagine? Come?

[pilloeffe]

Posso togliere l’immagine? Come?

Adesso secondo me è passato troppo tempo, non credo ti faccia ancora modificare l'OP: magari possiamo chiedere a qualche amministratore che abbia più "poteri" del sottoscritto se riesce a modificarti l'OP in tal senso...