dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda cri98 » 12/01/2020, 18:35

data la serie di potenze trovare l'intervallo di convergenza:
serie:
$ sum^(oo )1/n(x)^n= $

possibili intervalli:
1)(-1,1)
2)[0,1)
3)[-1,1)
4)[0,1]

prima di tutto devo determinare il raggio di convergenza utilizzando il criterio del rapporto:
$ sum_(0) a_(n)(x-x_(0))^n= $$ lim_(n -> oo)(|a_(n)+1|)/a_(n) = $
$ R={ ( 0 ),( +oo ),( 1/l ):} $ $ { ( l=+oo ),( l=0 ),( 0<l<+oo ):} $
$ lim_(n -> +oo) |1/n+1|/(1/n)=oo $
se $ R =+oo $ la serie di potenza converge puntualmente in ogni x appartenente ai reali oppure
uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato$ [x_(0)-n, x_(0)+n]$

il procedimento è corretto
grazie!
cri98
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda Mephlip » 12/01/2020, 19:20

cri98 ha scritto:$ sum_(0) a_(n)(x-x_(0))^n= $$ lim_(n -> oo)(|a_(n)+1|)/a_(n)$

Quest'uguaglianza non è vera. Si ha che il raggio di convergenza $R$ è dato da
$$\frac{1}{R}=\lim_{n\to+\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$
Alla luce di ciò è sbagliata sia la scrittura che il calcolo del seguente limite
cri98 ha scritto: $ lim_(n -> +oo) |1/n+1|/(1/n)=oo $

Quindi, che significa $a_{n+1}$ se $a_n=\frac{1}{n}$?
Che poi te ne puoi accorgere anche "manualmente": se l'insieme di convergenza della serie di potenze fosse $\mathbb{R}$, sostituendo $x=2$ otterresti che converge la serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{n}$$
Che notoriamente diverge in quanto non è neanche soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.
Insomma, occhio ai risultati che si ottengono: delle volte non si può capire se ciò che si è ottenuto è palesemente falso, ma qui te ne puoi accorgere.
Ultima modifica di Mephlip il 13/01/2020, 06:11, modificato 1 volta in totale.
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda pilloeffe » 12/01/2020, 22:26

Ciao cri98,

Si tratta sempre della solita serie, che a quanto pare va molto di moda ultimamente... :wink:

$\sum_{n = 1}^{+\infty}x^n/n = - ln(1 - x) \qquad \quad \text{ per} -1 <= x < 1 $

Pertanto la risposta corretta è la 3).
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda cri98 » 15/01/2020, 11:29

ciao ragazzi grazie per il vostro aiuto
allora la serie di potenze $ \sum_{n = 0}^{+\infty}x^n/n =$
ottengo
$ a_(n)=1/n$
applico il criterio del rapporto:\[ \frac{1}{R}=\lim_{n\to+\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]

\[ \frac{1}{R}=\lim_{n\to+\infty} \left|\frac{1/(n+1)}{n}=0\right| \]
quindi$ l=0$ ottengo che$ R=+oo $
coincide con i reali se il raggio di convergenza R=+infinito
non riesco a capire a questo punto come devo procedere operativamente nel trovare l'intervallo di convergenza

Grazie
cri98
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda pilloeffe » 15/01/2020, 14:57

cri98 ha scritto:quindi $l=0 $ ottengo che $R=+\infty$

:shock: :shock:
Se calcoli il limite che hai scritto risulta $l = 1 \implies R = 1 $
Pertanto la serie proposta converge per $|x| < R = 1 $
Poi devi andare a vedere cosa accade agli estremi: per $ x = 1 $ diverge (serie armonica), per $x = - 1 $ converge (criterio di Leibnitz).
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda cri98 » 15/01/2020, 17:41

grazie pilloeffe, adesso mi è chiaro anche perchè diverge e converge.

ho provato a risolvere un esercizio simile:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty}(x^n)n = $
ottengo a_(n)=n

applico il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo)|(a_(n)+1)/a_(n)|=lim_(n -> oo) (n+1)/n=1 $
ottengo$ l=1 $ e$ R=1$
$Xo-R=-1$
$ Xo+R=1$
considero x=-1
$ lim_(n -> oo) n(-1)^n $
questo converge per criterio di Leibniz
considero x=1
$ lim_(n -> oo) n(1)^n=oo $
in questo caso non converge

quindi ottengo come intervallo di convergenza [-1,1)


lo svolgimento è corretto?

grazie :smt023
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda pilloeffe » 15/01/2020, 21:27

cri98 ha scritto:lo svolgimento è corretto?

No.
La serie proposta non è altro che la derivata della serie geometrica moltiplicata per $x $ e pertanto converge nello stesso intervallo $|x| < 1 $:

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} nx^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} nx^n = x \sum_{n = 0}^{+\infty} (\text{d})/(\text{d}x) x^n = x (\text{d})/(\text{d}x) \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = x (\text{d})/(\text{d}x) (1/(1 - x)) = x/(1 - x)^2 $

Per $x = - 1$ la serie proposta non converge, almeno non in senso ordinario.
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda cri98 » 16/01/2020, 11:25

ciao pilloeffe,
la serie geometrica:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} q^(n) = $

per definizione se il modulo della ragione$ |q|<=-1$, la serie geometrica converge ed ha per somma$ 1/(1-q)$
considerando
$x/(1-x)^2 $se sostituisco con$ x=-1$ ottengo$ -1/4$ non dovrebbe convergere?
Grazie!
gli intervalli proposti sono:
$[0,1]$
$[-1,1]$
$(-1,1)$
$(-1,1)$
Ultima modifica di cri98 il 16/01/2020, 16:42, modificato 1 volta in totale.
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda pilloeffe » 16/01/2020, 16:33

cri98 ha scritto:per definizione se il modulo della ragione q è minore o uguale a$−1$

Ti rendi conto che qui hai scritto a parole $|q| <= -1 $ ?
cri98 ha scritto:la serie geometrica converge ed ha per somma $1/(1−q) $

Attenzione, ricordati da dove viene quella formula:

$ \sum_{k = 0}^{n} q^k = (1 - q^{n + 1})/(1 - q) \implies \sum_{k = 0}^{+\infty} q^k = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $

L'ultimo limite scritto vale $1/(1 - q) \iff |q| < 1 $.
cri98 ha scritto:non dovrebbe convergere?

No, non in senso ordinario ripeto: se poi si definisce la somma della serie $S$ in modo diverso da $S := \lim_{n \to +\infty} s_n $ se ne può parlare... :wink:
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Re: dire in quale intervallo converge la serie

Messaggioda cri98 » 16/01/2020, 18:54

ciao pilloeffe
quindi in conclusione l'intervallo di convergenza è (-1,1)?
Grazie
cri98
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