Lemma di Ping-Pong

Messaggioda 3m0o » 14/01/2020, 03:51

a) Dimostra il Lemma di Ping-Pong.
Sia \(G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \) e siano \( g_1, \ldots, g_k \in G \) di ordine infinito, per \( k \geq 2 \). Supponiamo che esistono dei sottoinsiemi non vuoti e disgiunti \( X_1, \ldots, X_k \) di \( X \) tale che \( g_i^nX_j \subseteq X_i \) per tutti \( i \neq j \), e per tutti gli \( n\in \mathbb{Z}^* \). Allora il sottogruppo
\( H = \left< g_1, \ldots, g_k \right> < G \) è libero di base \( \{ g_1, \ldots, g_k \} \).

Hint: Dimostra che per tutte le parole ridotte \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) non è triviale considerando l'azione su uno degli \( X_i \) (ben scelto), comincia dal caso \( i_1 = i_r \).

Le soluzioni dicono:
Sia \( w = g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} \) una parola ridotta, e siccome è ridotta allora possiamo supporre che \( i_j \neq i_{j+1} \), inoltre sia \( k \neq i_1 \) allora
\[ g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_r}^{n_r} X_{k} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-1}}^{n_{r-1}} X_{i_r} \subseteq g_{i_1}^{n_1} \ldots g_{i_{r-2}}^{n_{r-2}} X_{i_{r-1}} \subseteq g_{i_1}^{n_1} X_{i_2} \subseteq X_{i_1} \]

In particolare \( w \) non agisce trivialmente su \( X_k \) poiche \( X_{i_1} \) e \( X_k \) sono disgiunti. Dunque \( w \neq e \).

Supponiamo ora che \( i_1 \neq i_r \) e siano \( m \in \mathbb{Z} \) tale che \( m \neq n_1 \) e \( m \neq 0 \). Poniamo allora
\[ w' = g_{i_1}^{-m}wg_{i_1}^m = g_{i_1}^{n_1 - m} \ldots g_{i_r}^{n_r}g_{i_1}^m \]
è una parola ridotta come nel primo caso. Dunque \( w' \neq e \) e quindi \( w \neq e \).


Tutto molto bello e ho capito ogni passaggio, tranne uno, direi fondamentale. Ma perché diamine questa roba dimostra il Lemma di Ping Pong? Non ne ho la minima idea, qualcuno potrebbe illuminarmi? :-D
Grazie.
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Re: Lemma di Ping-Pong

Messaggioda solaàl » 15/01/2020, 10:19

Beh, cos'è un gruppo libero?
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Re: Lemma di Ping-Pong

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 12:57

Un gruppo libero \(G \) di base \(X\) è un gruppo che consiste in
- un gruppo \(G \)
- un'applicazione \( f: X \to G \) tale che per ogni gruppo \( H \) e per ogni applicazione \( g: X \to H \) esiste un unico omomorfismo \( \phi : G \to H \) tale che \( \phi \circ f = g \).
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Re: Lemma di Ping-Pong

Messaggioda solaàl » 15/01/2020, 13:14

Questa è la sua proprietà universale, ma come dimostri che quel gruppo esiste?
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Re: Lemma di Ping-Pong

Messaggioda 3m0o » 15/01/2020, 13:37

Questa è la definizione che ci hanno dato.
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Re: Lemma di Ping-Pong

Messaggioda solaàl » 15/01/2020, 14:04

Sì, ed è giusta: ti ho chiesto come dimostri che un tale gruppo esiste :) non basta dire "unicorno" per farlo esistere.
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