Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda G.D. » 14/01/2020, 11:39

mario9555 ha scritto:... sia che $x>y$.


Nel quale caso allora sarebbe $ y < x $, da cui $ y \le x $ e quindi $x$ e $y$ sono confrontabili.
Inoltre i quantificatori sono stati usati male.
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda mario9555 » 14/01/2020, 12:01

G.D. ha scritto:Nel quale caso allora sarebbe y<x, da cui y≤x e quindi x e y sono confrontabili.

Forse sono stato poco chiaro... Intendevo dire che è plausibile sia l'una che l'altra eventualià, ma ovviamente, solo una di queste può presentarsi per poter scartare x come possibile minimo.

G.D. ha scritto:Inoltre i quantificatori sono stati usati male.


Perché? Ricordo che stiamo esprimendo che S è privo di minimo.
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda G.D. » 14/01/2020, 17:21

mario9555 ha scritto:Perché? Ricordo che stiamo esprimendo che S è privo di minimo.


OK. Errore mio. Credo di aver frainteso perché il tuo intervento inizia con

mario9555 ha scritto:Poichè l'ordine non è totale


sicché ho preso fischi per fiaschi e ho capito che si stava parlando di come esprimere in simboli il fatto che l'ordinamento non fosse totale. Chiedo scusa.
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda Pasquale 90 » 15/01/2020, 13:09

Ciao

Provo che $ le $ è un ordine in $NN$ ma non totale

$le$ è riflessiva se e soltanto se, per ogni $x in NN$ tali che $x le x$, cioè

$x le x <=> EE n in N \:\ x=x^n$ con $n=1$

$le$ è asimmetrica se e soltanto se per ogni $x,y in NN$ tali che $x le y$ e $yle x$ si ha $x=y$, cioè

$x le y <=> EE n in N \:\ x=y^n$,
$ylex <=> EE m in N \:\ y=x^m$

ovviamente se $m=1=n$ è banale invece nel caso in cui $n,m ge 2$ si ha:
$y=x\*\x^(m-1)=y^n\*\x^(m-1)$ quindi $y-y^n\*\x^(m-1)=y(1-y^(n-1)x^(m-1))=0$ dalla legge dell' annullamento del prodotto si ha $y=0 \or\ 1-y^(n-1)x^(m-1)=0$
Allora $y=0 notin NN$ quindi va scartata, allora $y^(n-1)\*\x^(m-1)-1=0 <=> y=x=1$ per ogni $n,m ge 2$ in particolare $x=y$.

$le$ è transitiva presi $x,y, x in NN$ tali che $x le y$ e $y le z$ si ha $x le z$, facciamo vedere che $x le z$ ossia facciomo vedere che esiste un $p in NN$ tale che $z=x^p$.
Essendo che
$xle y <=> EE n in NN \:\ y=x^n$

$yle z <=> EE m in NN \:\ z=y^m$

allora $z=y^m=y^(m-1)\y=y^(m-2)y\y=y\y\y\y\\y....\y=x^n\x^n\x^n\x^n\v^n\....\x^n=x^(n*m)=x^p$
dove $p in NN$ quindi si ha la transitività per $p=m*n in NN$

Inoltre presi due elementi ad esempio $2,3 in NN$ si ha che $2 ne 3^n $ per ogni $n in NN$ e sia $3 ne 2^n$ per ogni $n in NN$ per tale non sussiste la relazione d'ordine totale.

Invece per il minimo e il massimo, essendo che $le$ non è una relazione d'ordine totale allora le definizioni del $"min"$ e del $"max"$ non sussistono, quindi non esiste ne il minimo e ne il massimo in $(NN,le).$

Gli elementi minimali di $NN$ sono gli elementi $x in NN$ tali che \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{\exists} \) $y in NN$ tale che $y<x$, ossia
$y<x <=> EEn in NN \:\ x=y^n$
questa relazione è eseguibile in $N$ se e solo se $y$ sia la potenza ennesima di un numero naturale.
Quindi nel nostro caso, gli elementi minimali sono tutti e soli gli $x in NN$ tali che non sono potenza di nessun numero naturale, se non di se stessi con esponente pari ad uno.

Ciao
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda mario9555 » 15/01/2020, 13:41

Ti sei complicato un pò troppo la vita. Per la riflessività va bene. Per quanto riguarda l'asimmetria e la transitività, bastava fare una semplice sostituzione

$y=x^m=(y^n)^m=y^(mn)$ , e quindi dividendo per $y$,si ha $1=y^(mn-1)=>y=1$(ovviamente, va analizzato a parte il caso in cui $m=n=1$, come ha fatto)

Quindi, $x=y^n=1=>x=y$

Anche per la transitività, si può procedere così:

$z=y^m=(x^n)^m=x^(nm)$

Pasquale 90 ha scritto:Inoltre presi due elementi ad esempio 2,3∈N si ha che 2≠3n per ogni n∈N e sia 3≠2n per ogni n∈N per tale non sussiste la relazione d'ordine totale.


Ok


Pasquale 90 ha scritto:Invece per il minimo e il massimo, essendo che ≤ non è una relazione d'ordine totale allora le definizioni del min e del max non sussistono, quindi non esiste ne il minimo e ne il massimo in (N,≤).


Questo non è vero. Controesempio:

Consideriamo l'insieme $S={a,b,c}$, e definiamo in S la relazione binaria $<=$ ponendo: $a<=a,a<=b,b<=b,a<=c,c<=c$. $<=$è una relazione d'ordine in $S$, ma non è totale(infatti $b$ e $c$ non sono confrontabili), tuttavia $minS=a$

La dimostrazione del fatto che $(NN,<=)$ non è dotato di minimo e massimo, te l'ho fornita in un precedente post.


Pasquale 90 ha scritto:Quindi nel nostro caso, gli elementi minimali sono tutti e soli gli x∈N tali che non sono potenza di nessun numero naturale, se non di se stessi con esponente pari ad uno.


Ok.
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda Pasquale 90 » 15/01/2020, 14:06

Ciao mario955, grazie per la risposta
mario9555 ha scritto:Consideriamo l'insieme $ S={a,b,c} $, e definiamo in S la relazione binaria $ <= $ ponendo: $ a<=a,a<=b,b<=b,a<=c,c<=c $. $ <= $è una relazione d'ordine in $ S $, ma non è totale(infatti $ b $ e $ c $ non sono confrontabili), tuttavia $ minS=a $
.

ma quì non mi trovo, non voglio dire che la tua dimostrazione non sia corretta, ma si può procedere anche diversamente, cioè
$P=:$ Sia $S ne emptyset$ e sia $le$ una relazione di buon ordine, $Q=:$allora $le$ una relazione d'ordine totale in $S$
Quindi posso dire \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{Q} \) $to$ \(\displaystyle \require{cancel} \cancel{P} \) almeno per il minimo quello che ho scritto dovrebbe avere senso, tu come dici ?

Ciao
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Re: Esercizo su relazione d'ordine.

Messaggioda mario9555 » 15/01/2020, 14:22

Qual è la definizione di relazione di buon ordine? Dire che $R$ non è una relazione di buon ordine, che cosa equivale a dire? Penso che il problema sia nella risposta che dai alle suddette domande.
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